《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

20.(2023北京东城期末)(8分)给出定义如下:我们称使等式a - b = ab + 1成立的一对有理数a,b为“相伴有理数对”,记为(a,b).
(1)数对(-2,$\frac{1}{3}$),(-$\frac{1}{2}$,-3)中,是“相伴有理数对”的是________.
(2)若(x + 1,5)是“相伴有理数对”,则x的值是________.
(3)若(a,b)是“相伴有理数对”,求3ab - a + $\frac{1}{2}$(a + b - 5ab) + 1的值.

答案： 解析
(1)当a = -2，b = 1/3时，
a - b = -2 - 1/3 = -7/3，
ab + 1 = -2×1/3 + 1 = 1/3，
因为a - b≠ab + 1，
所以(-2,1/3)不是“相伴有理数对”.
当a = -1/2，b = -3时，
a - b = -1/2 - (-3) = -1/2 + 3 = 5/2，
ab + 1 = -1/2×(-3) + 1 = 5/2，
因为a - b = ab + 1，
所以(-1/2,-3)是“相伴有理数对”.
(2)
∵(x + 1,5)是“相伴有理数对”，
∴x + 1 - 5 = (x + 1)×5 + 1，
解得x = -5/2.
(3)3ab - a + 1/2(a + b - 5ab) + 1
= 3ab - a + 1/2a + 1/2b - 5/2ab + 1
= 1/2ab - 1/2a + 1/2b + 1
= 1/2ab - 1/2(a - b) + 1，
∵a - b = ab + 1，
∴原式 = 1/2ab - 1/2(ab + 1) + 1
= 1/2ab - 1/2ab - 1/2 + 1
= 1/2.

21.(8分)我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立.
例如:如图1,这个图形的面积可以用代数式2x(x + y)表示,也可以用代数式2x^2 + 2xy表示,可以说明等式2x(x + y) = 2x^2 + 2xy成立.
即这个图形可以表示等式2x(x + y) = 2x^2 + 2xy成立.
　　　　　 　
　　　　　
(1)利用图2中边长分别为a,b的正方形卡片,以及长为a,宽为b的长方形卡片若干张拼成图3(卡片间不重叠、无缝隙),这个几何图形可以表示的等式是________.
(2)请你设计一种拼图方案,使其可以表示等式(a + 2b)(2a + b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2.

答案：
解析
(1)(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2.
(2)可以用图形表示如下(答案不唯一).

22.(2024江苏南京秦淮期中)(10分)【知识回顾】
(1)若ac = bc,当c满足________时,a = b.
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1,有如下三种情况:
①底数不为零的零指数幂,例如3^0 = 1;
②底数为1的整数幂,例如1^{-2} = 1;
③底数为-1的偶数次幂,例如(-1)^2 = 1.
【知识运用】
(2)若(x + 2)^{x + 4} = 1,求x的值.
(3)若(x + 2)^{x + 4} = x + 2,则x的值为__________.

答案： 解析
(1)c≠0.
(2)分三种情况讨论如下:
①当x + 4 = 0且x + 2≠0时，(x + 2)^(x + 4) = 1，
由x + 4 = 0得x = -4，此时x + 2 = -2≠0，
∴当x = -4时，(x + 2)^(x + 4) = 1;
②当x + 2 = 1且x + 4为整数时，(x + 2)^(x + 4) = 1，
由x + 2 = 1得x = -1，此时x + 4 = 3，3为整数，
∴当x = -1时，(x + 2)^(x + 4) = 1;
③当x + 2 = -1且x + 4为偶数时，(x + 2)^(x + 4) = 1，
由x + 2 = -1得x = -3，
此时x + 4 = 1，1不是偶数，故不合题意，舍去.
综上，若(x + 2)^(x + 4) = 1，则x的值为 -4或 -1.
(3)-2或 -1或 -3.
详解:分三种情况讨论如下:
①当x + 2 = 0且x + 4≠0时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2，
由x + 2 = 0得x = -2，此时x + 4 = 2≠0，
∴当x = -2时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2;
②当x + 2 = 1且x + 4为整数时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2，
由x + 2 = 1得x = -1，此时x + 4 = 3，3为整数，
∴当x = -1时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2;
③当x + 2 = -1且x + 4为奇数时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2，
由x + 2 = -1得x = -3，此时x + 4 = 1，1为奇数，
∴当x = -3时，(x + 2)^(x + 4) = x + 2.
综上，若(x + 2)^(x + 4) = x + 2，则x的值为 -2或 -1或 -3.