《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

20. [答案含评分细则](8分)
(1)(2021北京中考)已知$a^{2}+2b^{2}-1 = 0$，求代数式$(a - b)^{2}+b(2a + b)$的值。
(2)(2024重庆沙坪坝南开中学期中)先化简，再求值：$[(3x - y)^{2}+(x + 2y)(3x - y)-2x(6x - 2y)]\div3y$，其中$x = 1,y = - 6$。

答案： 解析
(1)原式 = a^{2}-2ab + b^{2}+2ab + b^{2}
= a^{2}+2b^{2}, ………………………………… 2分
∵ a^{2}+2b^{2}-1 = 0,
∴ a^{2}+2b^{2}=1,
∴ 原式 = 1. ………………………………… 4分
(2)原式 = [(9x^{2}-6xy + y^{2})+(3x^{2}+6xy - xy - 2y^{2})-12x^{2}+4xy]÷3y
=(9x^{2}-6xy + y^{2}+3x^{2}+6xy - xy - 2y^{2}-12x^{2}+4xy)÷3y
=(3xy - y^{2})÷3y
= x - $\frac{1}{3}$y, ………………………………… 6分
当x = 1,y = - 6时,原式 = 1 - $\frac{1}{3}$×(-6)=1 + 2 = 3. …
……………………………………… 8分

21. [答案含评分细则](2023广东深圳中考)(9分)某商场在世博会上购置$A,B$两种玩具，其中$B$玩具的单价比$A$玩具的单价贵25元，且购置2个$B$玩具与1个$A$玩具共花费200元。
(1)求$A,B$玩具的单价。
(2)若该商场要求购置$B$玩具的数量是$A$玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20 000元，则该商场最多可以购置多少个$A$玩具？

答案： 解析
(1)设A玩具的单价为x元,B玩具的单价为y元,
根据题意得$\begin{cases}x + 25 = y,\\2y + x = 200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 50,\\y = 75.\end{cases}$
故A玩具的单价为50元,B玩具的单价为75元.
……………………………………… 4分
(2)设该商场可以购置z个A玩具,
根据题意得50z + 75×2z≤20 000,
解得z≤100,
故该商场最多可以购置100个A玩具. ……… 9分

22. [答案含评分细则](2024北京四十四中期中)(9分)我们在学习乘法公式时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：$m(a + b + c)=ma+mb + mc$(如图1)，多项式乘多项式的运算法则：$(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$(如图2)，以及完全平方公式：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$(如图3)。把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法。
(1)请设计一个图形说明等式$(a + b)(2a + b)=2a^{2}+3ab + b^{2}$成立(画出示意图，并标上字母)。
(2)如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形$EFGH$拼成的一个大正方形$ABCD$。如果每个直角三角形的较短的边的长为$a$，较长的边的长为$b$，最长的边的长为$c$，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长$a、b、c$的什么数量关系？(注：写出解答过程)

答案：
解析
(1)如图(答案不唯一).

……………………………………… 4分
(2)a^{2}+b^{2}=c^{2}. ………………………………… 6分
理由:
∵ S_{正方形ABCD}=(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,
S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$ab×4 + c^{2},
∴ a^{2}+b^{2}+2ab = 2ab + c^{2},
∴ a^{2}+b^{2}=c^{2}. ………………………………… 9分

23. [答案含评分细则](2024北京朝阳陈经纶中学期中)(10分)某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳。由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示：
(1)根据图中班长和售货员的对话信息，求足球和跳绳的单价。
(2)由于足球和跳绳需求量增大，该商店计划再次购进足球$a$个$(a＞15)$和跳绳$b$根，且恰好花费1 800元，已知足球每个的进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案。

答案： 解析
(1)设足球和跳绳的单价分别为x元,y元,
由题意得$\begin{cases}12x + 10y = 1 400,\\10x + 12y = 1 240,\end{cases}$ ………………… 3分
解得$\begin{cases}x = 100,\\y = 20.\end{cases}$ ………………………………… 4分
答:足球和跳绳的单价分别为100元,20元. ………
……………………………………… 5分
(2)由题意得80a + 15b = 1 800(a＞15), ……… 7分
当全买足球时,可买足球的个数为$\frac{1 800}{80}$=22.5,
∴ 15＜a＜22.5,由题意可知a,b为正整数,
当a = 16时,b = 34$\frac{2}{3}$,b不是整数,舍去;
当a = 17时,b = 29$\frac{1}{3}$,b不是整数,舍去;
当a = 18时,b = 24,符合题意;
当a = 19时,b = 18$\frac{2}{3}$,b不是整数,舍去;
当a = 20时,b = 13$\frac{1}{3}$,b不是整数,舍去;
当a = 21时,b = 8,符合题意;
当a = 22时,b = 2$\frac{2}{3}$,b不是整数,舍去.
综上,共有两种方案，方案一:购进足球18个,跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.　...10分