《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

1. 新独家原创 有下列各式：①$(a + b)(a - b)$；②$(-a + b)(-a - b)$；③$(a - b)(b - a)$；④$(a - b)(a - b)$；⑤$(-a - b)(-a - b)$. 其中可以用平方差公式计算的有(M7206004) （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B ①②可以用平方差公式计算，故选B.
·方法归纳
两个二项式相乘，具备以下特点可用平方差公式计算：一项相同，另一项互为相反数。

2. (2024四川成都中考)下列计算正确的是（ ）
A. $(3x)^{2}=3x^{2}$
B. $3x + 3y = 6xy$
C. $(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}$
D. $(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$

答案： D $(3x)^{2}=9x^{2}$，故A选项的计算错误； $3x$与 $3y$不能合并同类项，故B选项的计算错误； $(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，故C选项的计算错误； $(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$，故D选项的计算正确。故选D。

3. (2024北京二中期中)若$(a + 1)(a - 1)=35$，则$a$的值为(M7206004) （ ）
A. $\pm6$
B. $\pm3$
C. 6
D. 3

答案： A $\because(a + 1)(a - 1)=a^{2}-1 = 35$，
$\therefore a^{2}=36$，
$\therefore a=\pm6$。

4. (2024四川凉山州中考)已知$a^{2}-b^{2}=12$，且$a - b = -2$，则$a + b=$________.(M7206004)

答案： 答案 -6
解析 $\because(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}=12,a - b=-2$，
$\therefore(a + b)(a - b)=-2(a + b)=12$，
$\therefore a + b=-6$。

5. 教材变式 (2023北京密云期末)在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是________________.

答案： 答案 $(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$

6. 计算：(M7206004)
(1)$(3x - 2y)(3x + 2y)$.
(2)$(2m - n - 3)(2m + n + 3)$.

答案： 解析
(1) $(3x - 2y)(3x + 2y)$
$=(3x)^{2}-(2y)^{2}$
$=9x^{2}-4y^{2}$。
(2) $(2m - n - 3)(2m + n + 3)$
$=[2m-(n + 3)][2m+(n + 3)]$
$=4m^{2}-(n + 3)^{2}$
$=4m^{2}-n^{2}-6n - 9$。

7. (2024广东佛山南海实验中学月考,6,★☆☆)$2013^{2}-2012×2014$的计算结果是(M7206004) （ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

答案： A $2013^{2}-2012\times2014 = 2013^{2}-(2013 - 1)(2013 + 1)=2013^{2}-2013^{2}+1 = 1$。

8. (2024北京十一学校月考改编,11,★☆☆)$2025^{2}-2024^{2}=$________.

答案： 答案 4049
解析 $2025^{2}-2024^{2}$
$=(2025 + 2024)\times(2025 - 2024)$
$=(2025 + 2024)\times1 = 4049$。

9. (2024陕西西安长安月考,12,★☆☆)已知$m^{2}-n^{2}=3$，则$(m + n)^{2}(m - n)^{2}=$________.(M7206004)

答案： 答案 9
解析 $(m + n)^{2}(m - n)^{2}$
$=[(m + n)(m - n)]^{2}$
$=(m^{2}-n^{2})^{2}$
$=3^{2}$
$=9$。

10. (2024北京十一学校月考,12,★☆☆)计算$\frac{(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)}{2^{32}-1}=$________.(M7206004)

答案： 答案 1
解析 $(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$
$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$
$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)$
$=2^{32}-1$，
$\therefore$原式$=\frac{2^{32}-1}{2^{32}-1}=1$。

11. (2024江西萍乡实验学校月考,17,★☆☆)计算.(M7206004)
(1)$(x - 2y + 1)(x - 2y - 1)$.
(2) 一题多解 $(x + y)^{2}-2(x + y)(x - y)+(x - y)^{2}$.

答案： 解析
(1)原式$=(x - 2y)^{2}-1$
$=x^{2}-4xy + 4y^{2}-1$。
(2)【解法一】原式$=x^{2}+2xy + y^{2}-2x^{2}+2y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2}$
$=4y^{2}$。
【解法二】原式$=[(x + y)-(x - y)]^{2}$
$=(x + y - x + y)^{2}$
$=(2y)^{2}$
$=4y^{2}$。

12. 一题多解 (2023北京大兴期末,23,★☆☆)试说明：当$n$是整数时，两个连续奇数的平方差$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}$是这两个奇数的和的2倍.

答案： 解析 【证法一】$\because(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=2\times4n = 8n,2(2n + 1 + 2n - 1)=2\times4n = 8n$，
$\therefore(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=2(2n + 1 + 2n - 1)$。
【证法二】$\because(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(4n^{2}+4n + 1)-(4n^{2}-4n + 1)=4n^{2}+4n + 1 - 4n^{2}+4n - 1 = 8n,2(2n + 1 + 2n - 1)=2\times4n = 8n$，
$\therefore(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=2(2n + 1 + 2n - 1)$。