《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

14. (2024重庆沙坪坝凤鸣山中学月考,22,★★☆)已知关于x，y的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 7\\mx + ny = 5\end{cases}$和方程组$\begin{cases}5x - 2y = 8\\\frac{nx}{3}+my = 3\end{cases}$的解相同.(M7205001)
(1)求m，n的值.
(2)求3m - 2mn + m² - 1的值.

答案： 解析
(1)根据题意得$\begin{cases}2x + 3y = 7①\\5x - 2y = 8②\end{cases}$,
①×2+②×3得19x = 38,解得x = 2,
把x = 2代入①得4 + 3y = 7,解得y = 1,
∴该方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$,
把$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入$\begin{cases}mx + ny = 5\\\frac{nx}{3}+my = 3\end{cases}$得$\begin{cases}2m + n = 5\\\frac{m}{3}+2n = 3\end{cases}$,
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 3\end{cases}$.
(2)当m = 1,n = 3时,3m - 2mn + m² - 1 = 3 - 2×3 + 1 - 1 = 3 - 6 + 1 - 1 = - 3.
方法归纳
若两个方程(组)同解,可以通过以下步骤求字母参数:
(1)先求解其中一个方程组,得到未知数的解(有时用含参数的式子表示);
(2)将所得解代入另一个方程组;
(3)得到一个关于参数的方程组;
(4)解这个关于参数的方程组,即可求出字母参数的值.

15. 几何直观 新考向·新定义试题 (2023北京朝阳外国语学校期中)对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x - y| = 1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)方程组$\begin{cases}x + 2y = 7\\x - y = 1\end{cases}$的解x与y是否具有“邻好关系”? 说明你的理由.
(2)若方程组$\begin{cases}2x - y = 6\\4x + y = 6m\end{cases}$的解x与y具有“邻好关系”，求m的值.
(3)已知关于x，y的方程组$\begin{cases}x + ay = 7\\2y - x = 5\end{cases}$中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否一定具有“邻好关系”? 如果是，请求出a的值及方程组的解；如果不是，请说明理由.

答案： 解析
(1)由x - y = 1得|x - y| = 1,
∴方程组$\begin{cases}x + 2y = 7\\x - y = 1\end{cases}$的解x与y具有“邻好关系”.
(2)方程组$\begin{cases}2x - y = 6m①\\4x + y = 6m②\end{cases}$,
①+②得6x = 6m + 6,解得x = m + 1,
把x = m + 1代入①得y = 2m - 4,
∴方程组的解为$\begin{cases}x = m + 1\\y = 2m - 4\end{cases}$,
∵|x - y| = |m + 1 - 2m + 4| = |-m + 5| = 1,
∴5 - m = ±1,
∴m = 6或m = 4.
(3)方程组的解x与y不一定具有“邻好关系”.
理由:两式相加得(2 + a)y = 12,
∵a,x,y均为正整数,
∴$\begin{cases}a = 1\\y = 4\\x = 3\end{cases}$,或$\begin{cases}a = 2\\y = 3\\x = 1\end{cases}$,或$\begin{cases}a = 4\\y = 2\\x = - 1\end{cases}$(舍去),或$\begin{cases}a = 10\\y = 1\\x = - 3\end{cases}$(舍去),
当a = 1时,|x - y| = 1;当a = 2时,|x - y| = 2≠1.
∴原方程组的解x与y不一定具有“邻好关系”.

微专题 利用整体思想解二元一次方程组
例 解二元一次方程组：$\begin{cases}x + y = 2①\\2x + 2y - 3y = 10②\end{cases}$.

答案： 解析 由②得2(x + y)-3y = 10③.
把①代入③得2×2 - 3y = 10,
解得y = - 2.
把y = - 2代入①得x + (-2)=2,
解得x = 4.
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = - 2\end{cases}$.

变式1 整体加减法解二元一次方程组 (2024北京十四中期中) 关于x，y的方程组$\begin{cases}2x - y = 3\\x - 2y = m - 2\end{cases}$的解中x与y的差等于2，则m的值为 （ ）
A. 4
B. - 4
C. 2
D. - 2

答案： C $\begin{cases}2x - y = 3m①\\x - 2y = m - 2②\end{cases}$,
①+②,得3x - 3y = 4m - 2,
由题意得x - y = 2,
∴3(x - y)=4m - 2 = 3×2 = 6,
∴m = 2.

变式2 整体转化法解二元一次方程组 (2024浙江宁波余姚期中) 已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}2a_1x + 3b_1y = 3c_1\\2a_2x + 3b_2y = 3c_2\end{cases}$的解是 （ ）
A.$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$

答案： C
∵方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$,
∴方程组$\begin{cases}2a_1x + 3b_1y = 3c_1\\2a_2x + 3b_2y = 3c_2\end{cases}$,即$\begin{cases}\frac{2}{3}a_1x + b_1y = c_1\\\frac{2}{3}a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}\frac{2}{3}x = 2\\y = 3\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}$.