《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

14. 运算能力 新考向·阅读理解试题(2024北京一六一中学期中)阅读材料:
如果$x$是一个有理数,我们把不超过$x$的最大整数记作$[x]$.
例如, $[3.2]=3,[5]=5,[-2.1]=-3$.
那么, $x = [x]+a$,其中$0\leqslant a＜1$.
例如, $3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=[-2.1]+0.9$.
请你解决下列问题:
(1) $[4.8]=$__________,$[-6.5]=$__________.
(2) 如果$[x]=3$,那么$x$的取值范围是__________.
(3) 如果$[3.5x - 2]=2x + 1$,求$x$的值.
(4) 如果$2a = [x]-1$,直接写出$x$的值.

答案： 解析
(1)4；-7.
(2)$3\leqslant x＜4$.
(3)$\because[3.5x - 2]=2x + 1$，
$\therefore2x + 1\leqslant3.5x - 2＜2x + 2$.
解得$2\leqslant x＜\frac{8}{3}$，
$\because2x + 1$是整数，
$\therefore x = 2$或2.5.
(4)$x = 1$或$2\frac{1}{2}$.
详解：$\because2a=[x]-1$，$\therefore a=\frac{[x]-1}{2}$.
$\because0\leqslant a＜1$，$\therefore0\leqslant\frac{[x]-1}{2}＜1$，
$\therefore1\leqslant[x]＜3$，$\therefore[x]=1$或2.
当$[x]=1$时，$a = 0$，$x = 1$；
当$[x]=2$时，$a=\frac{1}{2}$，$x = 2\frac{1}{2}$.
$\therefore x = 1$或$2\frac{1}{2}$.

1. 情境题·现实生活(2023北京东城区期末)小丽和小欧依次进入电梯,电梯因超重而警示音响起,在此过程中没有其他人进出.已知当电梯乘载的质量超过400千克时警示音响起,且小丽、小欧的质量分别为50千克、70千克.若小丽进入电梯前,电梯已乘载的质量为$x$千克,则$x$的取值范围是 ( )
A. $280＜x\leqslant350$
B. $280＜x\leqslant400$
C. $330＜x\leqslant350$
D. $330＜x\leqslant400$

答案： A 根据题意得$\begin{cases}x + 50\leqslant400\\x + 50+70＞400\end{cases}$，
解得$280＜x\leqslant350$.

2. 某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的$A$种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的$B$种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
(1) 问原计划租用$A$种客车多少辆?这次研学去了多少人?
(2) 若该校计划租用$A、B$两种客车共25辆,要求$B$种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案?
(3) 在(2)的条件下,若$A$种客车租金为每辆220元,$B$种客车租金为每辆300元,应该怎样租车才最合算?

答案： 解析
(1)设原计划租用$A$种客车$x$辆，则这次研学去了$(45x + 30)$人，
根据题意得$45x + 30 = 60(x - 6)$，
解得$x = 26$，
$\therefore45x + 30 = 45×26+30 = 1200$.
答：原计划租用$A$种客车26辆，这次研学去了1200人.
(2)设租用$B$种客车$y$辆，则租用$A$种客车$(25 - y)$辆，
根据题意得$\begin{cases}45(25 - y)+60y\geqslant1200\\y\leqslant7\end{cases}$，
解得$5\leqslant y\leqslant7$，
又$\because y$为正整数，
$\therefore y$可以为$5$，$6$，$7$，
∴该校共有3种租车方案：
方案1：租用5辆$B$种客车，20辆$A$种客车；
方案2：租用6辆$B$种客车，19辆$A$种客车；
方案3：租用7辆$B$种客车，18辆$A$种客车.
(3)方案1的总租金为$300×5+220×20 = 5900$(元)；
方案2的总租金为$300×6+220×19 = 5980$(元)；
方案3的总租金为$300×7+220×18 = 6060$(元).
$\because5900＜5980＜6060$，
∴租用5辆$B$种客车，20辆$A$种客车最合算.