《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

16. (2023北京二中期末,26,)我们规定:使得a - b = 2ab成立的一对数a,b为“有趣数对”,记为(a,b).例如,因为2 - 0.4 = 2×2×0.4,(-1) - 1 =
2×(-1)×1,所以数对(2,0.4),(-1,1)都是“有趣数对”
(1)数对$(1,\frac{1}{3})$，(1.5,3)，$(-\frac{1}{2},-1)$中，是“有趣数对”的是________.
(2)若(k,-3)是“有趣数对”,求k的值.
(3)若(m,n)是“有趣数对”,求代数式8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m² - n) + 12m²的值.

答案： 解析
(1)
∵1 - 1/3 = 2/3，2×1×1/3 = 2/3，
∴1 - 1/3 = 2×1×1/3，
∴数对(1, 1/3)是“有趣数对”；
∵1.5 - 3 = - 1.5，2×1.5×3 = 9，
∴1.5 - 3≠2×1.5×3，
∴数对(1.5, 3)不是“有趣数对”；
∵ - 1/2 - (- 1) = 1/2，2×(- 1/2)×(- 1) = 1，
∴ - 1/2 - (- 1)≠2×(- 1/2)×(- 1)，
∴数对(- 1/2, - 1)不是“有趣数对”.
综上，是“有趣数对”的是(1, 1/3).
(2)
∵(k, - 3)是“有趣数对”，
∴k - (- 3) = 2×k×(- 3)，
∴k + 3 = - 6k，
∴7k = - 3，
∴k = - 3/7.
(3)8[3mn - 1/2m - 2(mn - 1)] - 4(3m² - n) + 12m²
= 8(3mn - 1/2m - 2mn + 2) - 12m² + 4n + 12m²
= 24mn - 4m - 16mn + 16 - 12m² + 4n + 12m²
= 8mn - 4m + 4n + 16，
∵(m, n)是“有趣数对”，
∴m - n = 2mn.
∴原式 = 8mn - 4(m - n) + 16
= 8mn - 4×2mn + 16
= 8mn - 8mn + 16
= 16.

17. [运算能力](2024北京十一实验中学期末)小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动:对依次排列的两个整式m,n按如下规律进行操作:
第1次操作后得到的整式串为m,n,n - m;第2次操作后得到的整式串为m,n,n - m,-m;第3次操作后……
其操作规则为每次操作增加的项,都是用上一次操作的结果减去其前一项得到的,小琪将这个活动命名为“回头差”游戏
则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是　　　　　　　　(　　　)
A. 2n - m
B. m
C. n - m
D. m + n

答案： 17A 第3次操作后得到的整式串为m，n，n - m， - m， - n；
第4次操作后得到的整式串为m，n，n - m， - m， - n， - n + m；
第5次操作后得到的整式串为m，n，n - m， - m， - n， - n + m，m；
第6次操作后得到的整式串为m，n，n - m， - m， - n， - n + m，m，n；
第7次操作后得到的整式串为m，n，n - m， - m， - n， - n + m，m，n，n - m；
……
所以第2024次操作后得到的整式串共有2026个整式.
观察可得，整式串每6个循环1次，每6个整式的和为m + n + (n - m) + (- m) + (- n) + (- n + m) = 0，
∵2026÷6 = 337……4，
∴第2024次操作后得到的整式串各项之和是m + n + (n - m) + (- m) = 2n - m.

18. [抽象能力]新考向.阅读理解试题(2024北京十一实验中学期末)阅读下列材料,完成相应的任务.
对称式
在一个含有多个字母的式子中,如果任意交换两个字母的位置,式子的值不发生改变,这样的式子就叫作对称式.
例如:式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac,acb,cba,因为abc = bac = acb =
cba,所以abc是对称式.交换式子a - b中字母a、b的位置,得到式子b - a,若a - b ≠ b - a,则a - b不是对称式.
任务:
(1)下列式子中,是对称式的是________(填序号).
①a + b + c;②a² + b²;③a²b;④$\frac{a}{b}$
(2)写出只含有字母x、y且系数为1的单项式,使该单项式是对称式,要求次数为6.
(3)已知A = 2a² + 4b²,B = a² - 2ab,求A + 2B,并直接判断所得结果是不是对称式.

答案： 解析
(1)①②.
(2)x³y³.
(3)由题意得A + 2B = 2a² + 4b² + 2(a² - 2ab)
= 2a² + 4b² + 2a² - 4ab
= 4a² + 4b² - 4ab，
根据对称式的定义，得4a² + 4b² - 4ab是对称式.