《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

15.(2024北京第一七一中学期中)(6分)分解因式:
(1)$(a - b)^{2}+3(a - b)$.
(2)$mx^{2}-2mx + m$.

答案： 解析
(1)$(a - b)^{2}+3(a - b)=(a - b)(a - b + 3)$.
(2)$mx^{2}-2mx + m$
$=m(x^{2}-2x + 1)$
$=m(x - 1)^{2}$.

16.(2023北京海淀清华附中期末)(6分)分解因式:
(1)$x^{2}+(2a + 3)x+(a^{2}+3a)$.
(2)$4x^{2}+4xy + 12x + 6y + y^{2}+8$.

答案： 解析
(1)原式$=x^{2}+2ax + 3x+a^{2}+3a$
$=(x + a)^{2}+3(x + a)$
$=(x + a)(x + a + 3)$.
(2)原式$=(4x^{2}+4xy + y^{2})+(12x + 6y)+8$
$=(2x + y)^{2}+6(2x + y)+8$
$=(2x + y + 2)(2x + y + 4)$.

17.(6分)用简便方法计算:
(1)$99^{2}-108\times92$.
(2)$2.2^{2}+4.4\times17.8+17.8^{2}$.

答案： 解析
(1)原式$=(100 - 1)^{2}-(100 + 8)\times(100 - 8)$
$=100^{2}-200 + 1-100^{2}+8^{2}=-200 + 1+64=-135$.
(2)原式$=(2.2 + 17.8)^{2}=20^{2}=400$.

18.(2023北京石景山期末)(6分)已知$m - n = -2$,$mn = 3$,求代数式$-m^{3}n+2m^{2}n^{2}-mn^{3}$的值.

答案： 解析$\because m - n=-2,mn = 3$,
$\therefore -m^{3}n+2m^{2}n^{2}-mn^{3}$
$=-mn(m^{2}-2mn + n^{2})$
$=-mn(m - n)^{2}$
$=-3\times(-2)^{2}$
$=-12$.

19.(2024广东广州江南外国语学校二模)(7分)已知多项式①$x^{2}-2xy$,②$x^{2}-4y^{2}$,③$x^{2}-4xy + 4y^{2}$.
(1)把这三个多项式因式分解.
(2)请选择下列其中一个等式(A或 B),求$x$与$y$的关系.
A.①+②=③;B.①+③=②.

答案： 解析
(1)①$x^{2}-2xy=x(x - 2y)$.
②$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)$.
③$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$.
(2)答案不唯一,任选一个解答即可.
选择 A:
$\because $①+②=③,
$\therefore x(x - 2y)+(x + 2y)(x - 2y)=(x - 2y)^{2}$,
即$x(x - 2y)+(x + 2y)(x - 2y)-(x - 2y)^{2}=0$,
因式分解得$(x - 2y)(x + 4y)=0$,
$\therefore x - 2y = 0$或$x + 4y = 0$,
解得$x = 2y$或$x=-4y$.
选择 B:
$\because $①+③=②,
$\therefore x(x - 2y)+(x - 2y)^{2}=(x + 2y)(x - 2y)$,
即$x(x - 2y)+(x - 2y)^{2}-(x + 2y)(x - 2y)=0$.
因式分解得$(x - 2y)(x - 4y)=0$,
$\therefore x - 2y = 0$或$x - 4y = 0$,
解得$x = 2y$或$x = 4y$.

20.新考向·项目式学习试题(2024河北邢台内丘六校联考期末)(9分)【发现】一个两位数的十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,$a＞b$且$a + b = 10$,若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则旧、新两位数的平方差是 20的倍数.
【解决问题】
(1)当$a = 6$时,原来的两位数为________,新的两位数为________.
(2)用含$a$的代数式表示原来的两位数和新的两位数(结果需化简).
(3)在(2)的基础上说明【发现】中的结论正确.

答案： 解析
(1)64;46.
详解:$\because a = 6,a + b = 10,\therefore b = 4$,
$\therefore$原来的两位数为$6\times10 + 4 = 64$,
新的两位数为 46.
(2)一个两位数的十位上的数字为 a,个位上的数字为 b,$a＞b$且$a + b = 10$,
$\therefore b = 10 - a$,
$\therefore$原来的两位数为$10a+10 - a = 9a + 10$;
将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,
$\therefore$新的两位数为$10(10 - a)+a = 100 - 9a$.
(3)根据题意,得$(9a + 10)^{2}-(100 - 9a)^{2}$
$=(9a + 10+100 - 9a)(9a + 10 - 100+9a)$
$=110(18a - 90)$
$=1980(a - 5)$
$=99\times20(a - 5)$,
$\because a$是整数,
$\therefore (9a + 10)^{2}-(100 - 9a)^{2}$能被 20 整除,即【发现】中的结论正确.