《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

11.(2024北京海淀清华附中期中,14,)方程组$\begin{cases}2x + y = ■\\x - y = □\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = □\end{cases}$，则被遮盖的■表示的数为__________.

答案： 答案 $\frac{5}{2}$
解析 把$\begin{cases}x = 1\\y = \square\end{cases}$代入方程$x - y = \square$，得$1 - y = y$，解得$y = \frac{1}{2}$，把$\begin{cases}x = 1\\y = \frac{1}{2}\end{cases}$代入方程$2x + y = \blacksquare$，得$\blacksquare = 2\times1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

12.(2022广东江门鹤山一模改编,21,)甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15①\\4x - by = -2②\end{cases}$，由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}$，乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$.
(1)求$a,b$的值.
(2)求$bx - 5ay = 15$的非负整数解.

答案： 解析 （1）将$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}$代入②，得$-12 + b = -2$，解得$b = 10$，
将$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$代入①，得$5a + 20 = 15$，解得$a = -1$.
（2）$\because a = -1$，$b = 10$，$\therefore 10x + 5y = 15$，$\therefore y = 3 - 2x$，
$\therefore$非负整数解为$\begin{cases}x = 0\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$.

13.(2023河北沧州南皮桂和中学期中,24,)按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
$\begin{cases}x + y = 1\\x - y = 1\end{cases},\begin{cases}x + y = 1\\x - 2y = 4\end{cases},\begin{cases}x + y = 1\\x - 3y = 9\end{cases},\begin{cases}\_\_\_\_\_\\\_\_\_\_\_\end{cases},......$
$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases},\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases},\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases},\begin{cases}x = \_\_\_\_\_\\y = \_\_\_\_\_\end{cases},......$
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处.
(2)猜想第$n$个方程组和它的解并验证.
(3)若方程组$\begin{cases}x + y = 1\\x - my = 16\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5\\y = -4\end{cases}$，求$m$的值，并判断该方程组是否符合(1)中的规律.

答案： 解析 （1）$\begin{cases}x + y = 1\\x - 4y = 16\end{cases}$；$\begin{cases}x = 4\\y = -3\end{cases}$.
（2）第$n$个方程组为$\begin{cases}x + y = 1\\x - ny = n^{2}\end{cases}$，它的解为$\begin{cases}x = n\\y = 1 - n\end{cases}$.验证：把$\begin{cases}x = n\\y = 1 - n\end{cases}$代入$\begin{cases}x + y = 1\\x - ny = n^{2}\end{cases}$得$n+(1 - n)= 1$，$n - n(1 - n)= n^{2}$，成立.
（3）把$\begin{cases}x = 5\\y = -4\end{cases}$代入$x - my = 16$得$5 + 4m = 16$，解得$m = \frac{11}{4}$，即原方程组为$\begin{cases}x + y = 1\\x - \frac{11}{4}y = 16\end{cases}$，它不符合（1）中的规律.

14.运算能力已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 9\\3a + 5b = 43.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 9.3\\b = 3.2\end{cases}$.
(1)方程组$\begin{cases}2m - 3n = 9\\3m + 5n = 43.9\end{cases}$的解为__________，方程组$\begin{cases}2p - 3q = 9\\3p + 5q = 43.9\end{cases}$的解为__________.
(2)方程组$\begin{cases}2(x + 2) - 3(y - 1) = 9\\3(x + 2) + 5(y - 1) = 43.9\end{cases}$的解是__________.
(3)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$，求方程组$\begin{cases}3a_{1}x + 2b_{1}y = 5c_{1}\\3a_{2}x + 2b_{2}y = 5c_{2}\end{cases}$的解.

答案： 解析 （1）$\begin{cases}m = 9.3\\n = 3.2\end{cases}$，$\begin{cases}p = 9.3\\q = 3.2\end{cases}$.
（2）$\begin{cases}x = 7.3\\y = 4.2\end{cases}$.
（3）$\because$方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$，
$\therefore$方程组$\begin{cases}a_{1}\frac{3x}{5}+b_{1}\frac{2y}{5}=c_{1}\\a_{2}\frac{3x}{5}+b_{2}\frac{2y}{5}=c_{2}\end{cases}$满足$\begin{cases}\frac{3x}{5}=3\\\frac{2y}{5}=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 5\\y = 10\end{cases}$.
$\therefore$方程组$\begin{cases}3a_{1}x + 2b_{1}y = 5c_{1}\\3a_{2}x + 2b_{2}y = 5c_{2}\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 10\end{cases}$.