《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

1. （教材变式）（2024 北京第一七一中学期中）下列从左到右的变形中，是分解因式的为（ ）
A.$x^{2}-x=x(x - 1)$
B.$a(a - b)=a^{2}-ab$
C.$(a + 3)(a - 3)=a^{2}-9$
D.$x^{2}-2x + 1=x(x - 2)+1$

答案： A 分解因式是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,故选项A是分解因式.

2. （新独家原创）已知$(m - 1)(m^{2}+m + 1)=m^{3}-1$，则分解因式$n^{3}-1=$________________________

答案： (n - 1)(n² + n + 1)

3. （新考向·开放性试题）（2023 北京大兴期末）请你写出一个整式$A$，使得多项式$x^{2}+A$能因式分解，这个整式$A$可以是________.

答案： x(答案不唯一.)

4. （2024 河北沧州献县模拟，4，★☆☆）若$x^{2}+mx + 4=(x - 2)^{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A. 等式从左到右的变形是乘法公式，$m = 4$
B. 等式从左到右的变形是因式分解，$m = 4$
C. 等式从左到右的变形是乘法公式，$m = - 4$
D. 等式从左到右的变形是因式分解，$m = - 4$

答案： D 等式从左到右的变形是因式分解.
∵ x² + mx + 4 = (x - 2)²,
∴ x² + mx + 4 = x² - 4x + 4,
∴ m = - 4.
故选D.

5. （数形结合思想）（2024 吉林长春东北师大附中二模，9，★☆☆）根据如图所示的拼图过程和图形面积，写出一个多项式的因式分解的过程：________.

答案： x² + 2x + 4x + 8 = x² + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)

6. （新考法·分析已有解题过程）（2024 江西九江永修二模，15，★★☆）数学老师布置了一道数学题：化简$(x + y)(x - y)-(x - y)^{2}$.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
|甲同学|乙同学|
|----|----|
|解：原式$=x^{2}-y^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})=\cdots\cdots$|解：原式$=(x - y)[(x + y)-(x - y)]=\cdots\cdots$|
（1）对于甲、乙两位同学的第一步计算，表述正确的是________.
A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解
B. 甲、乙都是整式的乘法
C. 甲是因式分解，乙是整式的乘法
D. 甲、乙都是因式分解
（2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程.

答案： （1）A.
（2）答案不唯一,任选一人的解答即可.
选择甲同学的解法:
原式 = x² - y² - (x² - 2xy + y²)
= x² - y² - x² + 2xy - y² = 2xy - 2y².
选择乙同学的解法:
原式 = (x - y)[(x + y) - (x - y)] = (x - y)(x + y - x + y) = (x - y)·2y = 2xy - 2y².

7. （运算能力）（十字相乘法）（2024 湖南衡阳期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题.
例题：已知二次三项式$x^{2}-4x + m$因式分解后有一个因式是$(x + 3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$(x + n)$，
得$x^{2}-4x + m=(x + 3)(x + n)$，
则$x^{2}-4x + m=x^{2}+(n + 3)x + 3n$，
$\therefore n + 3=-4$，$m = 3n$，
解得$n=-7$，$m=-21$，
$\therefore$另一个因式为$(x - 7)$，$m$的值为$-21$.
问题：已知二次三项式$2x^{2}+3x - k$因式分解后有一个因式是$(2x - 5)$，求另一个因式以及$k$的值.

答案： 设另一个因式为(x + a),
得2x² + 3x - k = (2x - 5)(x + a),
则2x² + 3x - k = 2x² + (2a - 5)x - 5a,
∴ 2a - 5 = 3,- 5a = - k,
解得a = 4,k = 20.
∴ 另一个因式为(x + 4),k的值为20.