《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

10.（2024 北京六十六中期中，19，★☆☆）用代入法解方程组：$\begin{cases}2(x + 1) - 3(y - 2) = 11\\3x - 2y = 7\end{cases}$(M7205001)

答案： 解析 $\begin{cases}2(x + 1)-3(y - 2)= 11①\\3x - 2y = 7②\end{cases}$，
整理得$\begin{cases}2x - 3y = 3③\\3x - 2y = 7④\end{cases}$，
由③得x = $\frac{3y + 3}{2}$⑤，
把⑤代入④，得3×$\frac{3y + 3}{2}$ - 2y = 7，
解得y = 1，
将y = 1代入⑤，得x = 3，
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$.

11.（2024 北京十一学校期中改编，11，★☆☆）不论$m$取什么值，等式$(2m + 1)x + (2 - 3m)y + 1 - 5m = 0$都成立，求$x$，$y$的值.(M7205001)

答案： 解析 方程可化为(2x - 3y - 5)m+(x + 2y + 1)= 0，
∵不论m取什么值，等式都成立，
∴$\begin{cases}2x - 3y - 5 = 0①\\x + 2y + 1 = 0②\end{cases}$，
由②得x = -2y - 1③，
把③代入①，得2(-2y - 1)-3y - 5 = 0，解得y = -1，
把y = -1代入③得x = 1，
∴方程组的解是$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$，
∴x的值为1，y的值为-1.

12.（2023 江苏南通启东长江中学期末，26，★★☆）对于数轴上的点$A$和正数$r$，给出如下定义：点$A$在数轴上移动，沿负方向移动$r$个单位长度后所在位置的点表示的数是$x$，沿正方向移动$r$个单位长度后所在位置的点表示的数是$y$，$x$与$y$这两个数叫作“点$A$的$r$对称数”，记作$D(A,r)=\{x,y\}$，其中$x＜y$.
例如：原点$O$表示的数为 0，原点$O$的 1 对称数是$D(O,1)=\{-1,1\}$.
（1）若点$A$表示的数为 2，则点$A$的 4 对称数是$D(A,4)=\{x,y\}$，则$x =$________，$y =$________.
（2）若$D(A,r)=\{-3,11\}$，求点$A$表示的数及$r$的值.
（3）已知$D(A,5)=\{x,y\}$，$D(B,3)=\{m,n\}$，若点$A$、点$B$同时从原点出发，沿数轴反向运动，且点$A$的速度是点$B$的速度的 2 倍，当$2(y - n) = 3(x - m)$时，请直接写出点$A$表示的数.

答案： 解析
(1)-2；6.
(2)设点A所表示的数为a，由题意可得$\begin{cases}a - r = -3①\\a + r = 11②\end{cases}$，
由②得a = 11 - r③，
将③代入①，得11 - r - r = -3，
解得r = 7，将r = 7代入③，得a = 4.
∴点A表示的数为4，r的值为7.
(3)$\frac{20}{3}$.
详解：设点A表示的数为a，
∵点A、点B同时从原点出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B的速度的2倍，
∴点B表示的数为-$\frac{a}{2}$，
又
∵D(A,5)=|x,y|，D(B,3)=|m,n|，
∴a - 5 = x，a + 5 = y，-$\frac{a}{2}$ - 3 = m，-$\frac{a}{2}$ + 3 = n，
当2(y - n)= 3(x - m)时，
2[a + 5 - (-$\frac{a}{2}$ + 3)] = 3[a - 5 - (-$\frac{a}{2}$ - 3)]，
解得a = $\frac{20}{3}$，
∴点A表示的数为$\frac{20}{3}$.

13. 运算能力 新考向·项目式学习试题（2023 北京丰台十二中期中）【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3①\\4x + 11y = 5②\end{cases}$时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$，即$2(2x + 5y)+y = 5$③，把方程①代入③得$2×3 + y = 5$，所以$y = - 1$，将$y = - 1$代入①得$x = 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = - 1\end{cases}$.
【解决问题】
（1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5\\9x - 4y = 19\end{cases}$.
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^2 - 2xy + 12y^2 = 25\\x^2 + xy + 4y^2 = 5\end{cases}$，求$x^2 + 4y^2$的值.

答案： 解析
(1)$\begin{cases}3x - 2y = 5①\\9x - 4y = 19②\end{cases}$，
将方程②变形，得3(3x - 2y)+2y = 19③，
把方程①代入③，得3×5 + 2y = 19，
解得y = 2，
将y = 2代入①，得x = 3，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$.
(2)原方程组可整理为$\begin{cases}3(x² + 4y²)-2xy = 25①\\xy = 5-(x² + 4y²)②\end{cases}$，
把②代入①，得3(x² + 4y²)-2[5-(x² + 4y²)] = 25，
整理，得5(x² + 4y²)= 35，
解得x² + 4y² = 7.