《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

7. (2024北京德胜中学期中，10，★★☆)观察下列图形中点的个数的规律，第7个图中点的个数是（ ）

A. 85
B. 51
C. 46
D. 64

答案： A 第1个图中点的个数是4=$\frac{1×2}{2}$×3+1；
第2个图中点的个数是10=$\frac{2×3}{2}$×3+1；
第3个图中点的个数是19=$\frac{3×4}{2}$×3+1；
……
所以第n个图中点的个数为$\frac{3n(n + 1)}{2}$+1.
当n = 7时，$\frac{3n(n + 1)}{2}$+1=$\frac{3×7×8}{2}$+1 = 85，
即第7个图中点的个数为85.

8. (2023湖北恩施州中考，16，★★☆)观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
-2，4，-8，16，-32，64，…①
0，7，-4，21，-26，71，…②
根据你的发现，完成填空：
第①行数的第10个数为________；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为________。

答案： 答案 1024；-2²⁰²⁴+2024
解析 观察这两行数可得，
第①行数的第10个数为(-2)¹⁰ = 1024，
第①行数的第2023个数为(-2)²⁰²³，
第②行数的第2023个数为(-2)²⁰²³+2024，
∵(-2)²⁰²³+(-2)²⁰²³+2024=-2²⁰²⁴+2024，
∴这两个数的和为-2²⁰²⁴+2024.

9. (2024北京八中期中，22，★★☆)下图中每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形(包含白色小正方形和灰色小正方形)按某种规律组成的。
(1)根据规律，可得第4个图中共有________个小正方形，其中灰色小正方形共有________个。
(2)第n个图中，白色小正方形共有________个，灰色小正方形共有________个(用含n的式子表示，n为正整数)。
(3)白色小正方形可能比灰色小正方形的个数正好多64个吗？如果可能，求出n的值；如果不可能，请说明理由。
 ...

答案： 解析
(1)36；8.
详解：
∵第1个图中共有12 = 3×4个小正方形，其中灰色小正方形共有2个；
第2个图中共有20 = 5×4个小正方形，其中灰色小正方形共有2×2个；
第3个图中共有28 = 7×4个小正方形，其中灰色小正方形共有2×3个；
……
∴第n个图中共有4(2n + 1)个小正方形，其中灰色小正方形共有2n个，
∴第4个图中共有4×9 = 36个小正方形，其中灰色小正方形共有2×4 = 8个.
(2)(6n + 4)；2n.
详解：由
(1)得，第n个图中，白色小正方形共有4(2n + 1)-2n=(6n + 4)个，灰色小正方形共有2n个.
(3)可能.由题意得2n+64 = 6n+4，解得n = 15.

10. 推理能力 (2024北京北师大附中月考)观察下列图形，寻找规律，回答下列问题。
定义数列：a₁，a₂，a₃，a₄，…，其中a₁ = a₂ = 1，aₖ + aₖ₊₁ = aₖ₊₂(k为任意正整数)。
如图，以数列中每一项的数为边长画出正方形，再将这些正方形按规律依次拼成长方形。

(1)按照图中的规律，图⑤中最大的长方形的周长为________。
(2)按照图中的规律，图⑨中最大的长方形的面积为________。
(3)从图中总结规律：求a₁² + a₂² + a₃² + … + a₁₀²的值。

答案： 解析
(1)42.
详解：图①中最大的长方形的周长为(1+2)×2 = 6；
图②中最大的长方形的周长为(2+3)×2 = 10；
图③中最大的长方形的周长为(3+5)×2 = 16；
图④中最大的长方形的周长为(5+8)×2 = 26；
所以图⑤中最大的长方形的周长为(8+13)×2 = 42.
(2)4895.
详解：易得图⑨中最大的长方形长为89，宽为55，
∴长方形的面积是89×55 = 4895.
(3)由
(2)得，$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots +a_{10}^{2}$表示的是图⑨中最大的长方形的面积，
∴$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots +a_{10}^{2}$=4895.