《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

15. (2024北京四十四中期中,26,★★☆)如图,点C在∠AOB的边OA上,过点C的直线DE//OB,CF平分∠ACD,CG⊥CF于点C. (M7207005)
(1)若∠O = 40°,求∠ECF的度数.
(2)求证:CG平分∠OCD.
(3)当CD将∠OCF分为1∶2的两部分时,求∠O的度数.

答案： 解析　
(1)
∵DE//OB,∠O=40°,
　
∴∠ACE=∠O=40°,
　
∵∠ACD+∠ACE=180°,
∴∠ACD=140°,
　
∵CF平分∠ACD,
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD=70°,
　
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=110°.
(2)证明:
∵CG⊥CF,
∴∠FCG=90°,
　
∴∠DCG+∠DCF=90°,∠GCO+∠FCA=90°,
　
∵∠ACF=∠DCF,
　
∴∠GCO=∠GCD,
∴CG平分∠OCD.
(3)分两种情况:
　　①当∠OCD:∠DCF=1:2时,
　　设∠OCD=x,则∠DCF=2x,
　
∵CF平分∠ACD,
　
∴∠ACF=∠DCF=2x,
　
∵∠ACF+∠DCF+∠OCD=180°,
　
∴2x+2x+x=180°,
　
∴x=36°,
∴∠OCD=36°,
∵DE//OB,
∴∠O=∠OCD=36°.
　　②当∠DCF:∠OCD=1:2时，
　　设∠OCD=2x,则∠DCF=x,
　
∵CF平分∠ACD,
　
∴∠ACF=∠DCF=x,
　
∵∠ACF+∠DCF+∠OCD=180°,
　
∴2x+x+x=180°,
　
∴x=45°,
∴∠OCD=90°,
　
∵DE//OB,
∴∠O=∠OCD=90°.
　　综上,∠O的度数为36°或90°.

16. [新考法·先作图再解题](2024北京朝阳日坛中学期中,25,★★☆)平面内有两个锐角∠AOB与∠EDC,点B在直线OA的上方,∠EDC保持不动,且∠EDC的一边CD//AO,另一边DE与直线OB相交于点F. (M7207005)
(1)若∠AOB = 40°,∠EDC = 55°,且位置如图所示,当点E,O,D在同一条直线上(即点O与点F重合)时,∠BOE = ______°.
(2)若∠AOB = α,∠EDC = β(0° ＜ α ＜ β ＜ 90°),当点E,O,D不在同一条直线上时,画出图形并求∠BFE的度数(用含α,β的式子表示).

答案：
解析　本题的新颖之处在于自主画图并解答.
(1)85.
　　详解:
∵CD//AO,
∴∠AOD=∠EDC=55°,
　
∴∠BOE=180°−∠AOB−∠AOD=180°−40°−55°=85°.
(2)分两种情况:
　　①点O在DE下方时,如图1,设OA与DE交于点G,
　　　　　　　　　
　
∵CD//AO,
∴∠EGO=∠EDC=β,
　
∴∠BFE=∠OFG=180°−α−β;
　　②点O在DE上方时,如图2,过点F作FG//CD,
　　　　　　　　
　　则∠GFD=∠EDC=β,
　
∵CD//OA,
∴FG//OA,
　
∴∠BFG=∠BOA=α,
　
∴∠BFD=∠BFG+∠GFD=α+β,
　
∴∠BFE=180°−α−β.
　　综上,∠BFE的度数为180°−α−β.

17. [推理能力](2024北京八中期中)已知,∠ABC = ∠BCD = 65°,点E在直线BC的右侧,∠BEC = 75°.
(1)如图1,若∠DCE = 10°,则∠CBE = ______°.
(2)如图2,若∠CBE = 65°,点F为平面内一点,且∠DCF = n∠ECF,点G在∠ABE内部,使得BG//CF,设∠CBG = m°.
①当点F在∠DCE内部,且n = 1时,请在图2中补全图形,并求m的值.
②若n,m都为正整数且1 ＜ n ＜ 24,直接写出m的所有可能取值.

答案：
解析　
(1)
∵∠BCD=65°,∠DCE=10°,
　
∴∠BCE=∠BCD−∠DCE=55°,
　
∵∠BEC=75°,
　
∴∠CBE=180°−∠E−∠BCE=50°.
(2)①补全图形如图,过点E作EQ//AB,
　　　　　　　　　
∵BG//CF,
∴∠GBC=∠BCF.
∵∠ABC=∠BCD=65°,
∴∠GBA=∠DCF,
∵EQ//AB,
∴∠ABE+∠BEQ=180°,
∴∠BEQ=180°−∠ABC−∠CBE=50°,
∴∠QEC=∠BEC−∠BEQ=25°,
∵∠ABC=∠BCD,
∴AB//CD,
∴EQ//CD,
∴∠QEC=∠ECD=25°,
∵n=1,
∴∠DCF=∠ECF,
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ECD=12.5°=∠GBA,
∴∠GBC=65°−12.5°=52.5°,
∴m=52.5.
②m的值为15或35或45.
详解:当点F在∠DCE内部时,如图，
　　　　　　　　
∵∠ECD=25°,
∴∠ECF+∠DCF=∠ECD=25°,
∵∠DCF=n∠ECF,
∴∠ECF+n∠ECF=25°,
∵n,m都为正整数且1＜n＜24,
∴n=4,
∴∠ECF+4∠ECF=25°,
解得∠ECF=5°,
∴∠DCF=4∠ECF=20°,
∴∠GBA=∠DCF=20°,
∴∠GBC=65°−20°=45°,
∴m=45;
当点F在∠DCE外部时，
∵∠ECD=25°,
∴∠DCF−∠ECF=∠ECD=25°,
∴n∠ECF−∠ECF=25°,
∵n,m都为正整数且1＜n＜24,
∴当n=2时,如图所示，
　　　　　　　　
此时2∠ECF−∠ECF=25°,
解得∠ECF=25°,
∴∠DCF=2∠ECF=50°,
∴∠GBA=∠DCF=50°,
∴∠GBC=65°−50°=15°,
∴m=15;
当n=6时,如图所示，
　　　　　　　　
此时6∠ECF−∠ECF=25°,
解得∠ECF=5°,
∴∠DCF=6∠ECF=30°,
∴∠GBA=∠DCF=30°,
∴∠GBC=65°−30°=35°,
∴m=35.
综上,m的值为15或35或45.