《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

12.（2024四川南充中考，17，★☆☆）先化简，再求值：$(x + 2)^{2}-(x^{3}+3x)\div x$，其中$x = - 2$.

答案： 解析 原式=(x²+4x+4)-(x²+3)=x²+4x+4-x²-3=4x+1
当x=-2时，原式=4×(-2)+1=-7

13.（2024重庆一中期中，22，★☆☆）化简求值：$[(3x - y)^{2}+(x + 2y)(x - 2y)+(3y - 2x)(y + x)]\div(-2x)$，其中$|x + 4|+y^{2}-12y + 36 = 0$.(M7206005)

答案： 解析 原式=[(9x²-6xy+y²)+(x²-4y²)+(3y²+3xy-2xy-2x²)]÷(-2x)=(9x²-6xy+y²+x²-4y²+3y²+3xy-2xy-2x²)÷(-2x)=(8x²-5xy)÷(-2x)=-4x+$\frac{5}{2}y$
∵|x+4|+y²-12y+36=0
∴|x+4|+(y-6)²=0
∴x=-4,y=6
当x=-4,y=6时，原式=-4×(-4)+$\frac{5}{2}$×6=31

14. 新考向·阅读理解试题（2024山东青岛市北期中，23，★☆☆）学习了本章之后，小明联想到小学的除法运算会碰到余数的情况，那么多项式除法类比着也会出现余式的情况. 例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以$2x^{2}$的商为$3x + 4$，余式为$x + 1$，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数 = 除数×商+余数，推理出多项式除法则：被除式 = 除式×商+余式.
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A.
（2）小明继续探索，已知关于x的多项式$6x^{2}+mnx + n$除以$2x + 1$的商为$3x - 4$，余式为x，请你根据以上法则，求出m，n的值.

答案： 解析
(1)根据题意得A=(3x+4)·2x²+x+1=6x³+8x²+x+1
(2)
∵6x²+mnx+n=(2x+1)·(3x-4)+x=6x²-8x+3x-4+x=6x²-4x-4
∴mn=-4,n=-4
∴m=1

15.（2024浙江杭州观成实验学校期中，21，★☆☆）已知$A = x^{3}\div x^{2}+x\cdot x^{2}$，$B=(x + 1)^{2}-(x - 1)^{2}$.
（1）若$4A\div B - 2y = 0$，请用含x的代数式表示y.
（2）若$A = B + 1$，求$9 - 2x^{3}+6x$的值.

答案： 解析
(1)由题意得A=x³÷x²+x·x²=x+x³,B=(x+1)²-(x-1)²=4x
∵4A÷B-2y=0
∴4(x+x³)÷4x-2y=0
∴1+x²-2y=0
∴y=$\frac{1+x^{2}}{2}$
(2)由
(1)得A=x+x³,B=4x
∵A=B+1,
∴x+x³=4x+1,即x³-3x=1
∴9-2x³+6x=9-2(x³-3x)=9-2×1=7

16. 推理能力 新考向·代数推理（2024福建泉州期末）观察下列各式：
第一个等式：$(x^{2}-1)\div(x - 1)=x + 1$；
第二个等式：$(x^{3}-1)\div(x - 1)=x^{2}+x + 1$；
第三个等式：$(x^{4}-1)\div(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$；
第四个等式：$(x^{5}-1)\div(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$；
根据上述规律，回答下列问题：
（1）$(x^{6}-1)\div(x - 1)=$____________________.
（2）写出第n个等式：____________________.
（3）计算$2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{62}+2^{63}$的值.

答案： 解析
(1)x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
(2)(xⁿ⁺¹-1)÷(x-1)=xⁿ+xⁿ⁻¹+…+x+1
(3)原式=2⁶³+2⁶²+…+2²+2+1-1=(2⁶⁴-1)÷(2-1)-1=2⁶⁴-1-1=2⁶⁴-2