《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

4.(2024北京第一六六中学月考)已知，AB//DE，点C在AB上方，连接BC、CD.

(1)如图1，若∠ABC = 145°，∠EDC = 116°，求∠BCD的度数.
(2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，直接写出∠ABC和∠F之间的数量关系：________________.
(3)如图3，在(2)的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长GB至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD - ∠CGF的值.

答案：
④解析
(1)过点C作CM//AB，如图1，

∴∠BCM = ∠ABC = 145°，
∵AB//DE，
∴CM//DE，
∴∠DCM = ∠EDC = 116°，
∵∠BCM = ∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD = ∠BCM - ∠DCM = 145° - 116° = 29°.
(2)∠ABC - ∠F = 90°.
详解：过点C作CN//AB，如图2，

∴∠ABC = ∠BCN，
∵AB//ED，
∴CN//EF，
∴∠F = ∠FCN，
∵∠BCN = ∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC = ∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF = 90°，
∴∠ABC = 90°+∠F，
即∠ABC - ∠F = 90°.
(3)延长HG交EF于点Q，过点G作GP//EF，如图3，

∴∠BGD = ∠CGQ，
∵AB//DE，
∴∠ABH = ∠EQG，
∵GP//EF，
∴∠EQG = ∠PGQ，∠EFG = ∠PGF，
∴∠PGQ = ∠ABH，
∴∠BGD - ∠CGF = ∠CGQ - ∠CGF = ∠FGQ，
∵∠FGQ = ∠PGQ - ∠PGF，
∴∠FGQ = ∠ABH - ∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠EFG = $\frac{1}{2}$∠CFD，
∴∠FGQ = $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠CFD = $\frac{1}{2}$(∠ABC - ∠CFD)，
由
(2)可得∠ABC - ∠CFD = 90°，
∴∠FGQ = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
即∠BGD - ∠CGF = 45°.

5.(2024河南郑州新郑期中)已知，直线AB//CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F.
(1)P是AB，CD之间的一点，连接PE，PF.
①如图1，若∠AEP = 16°，∠CFP = 46°，则∠P = ________.
②如图2，若EG平分∠AEP，FG平分∠CFP，试探究∠P和∠G的数量关系，并说明理由.
(2)如图3，P为直线AB，CD外的一点，连接PE，PF，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，试探究(1)②中的结论是否成立.若成立，请说明理由；若不成立，请写出此时的数量关系，并说明理由.

答案：
⑤解析
(1)①62°.详解：如图，过点P作PQ//AB，

所以∠AEP = ∠EPQ.
因为AB//CD，所以PQ//CD.
所以∠CFP = ∠QPF.
因为∠EPF = ∠EPQ+∠QPF，
所以∠EPF = ∠AEP+∠CFP = 16°+46° = 62°.
故答案为62°.
②∠P = 2∠G.
理由：由①得∠P = ∠AEP+∠CFP，
同理∠G = ∠AEG+∠CFG.
因为EG平分∠AEP，FG平分∠CFP，
所以∠AEG = $\frac{1}{2}$∠AEP，∠CFG = $\frac{1}{2}$∠CFP.
所以∠G = $\frac{1}{2}$∠AEP+$\frac{1}{2}$∠CFP
= $\frac{1}{2}$(∠AEP+∠CFP) = $\frac{1}{2}$∠P.
所以∠P = 2∠G.
(2)
(1)②中的结论仍然成立.
理由：如图，过点P作PK//AB，

所以∠AEP = ∠EPK.
因为AB//CD，所以PK//CD.
所以∠CFP = ∠KPF.
因为∠EPF = ∠KPF - ∠EPK，
所以∠EPF = ∠CFP - ∠AEP.
同理∠G = ∠CFG - ∠AEG.
因为FG平分∠CFP，EG平分∠AEP，
所以∠CFG = $\frac{1}{2}$∠CFP，∠AEG = $\frac{1}{2}$∠AEP，
所以∠G = $\frac{1}{2}$∠CFP - $\frac{1}{2}$∠AEP
= $\frac{1}{2}$(∠CFP - ∠AEP) = $\frac{1}{2}$∠EPF.
所以∠EPF = 2∠G.