《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 抛物线$y = -2x^{2}-4x + 8$向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是__________.

答案： $y = -2x^{2}-12x - 5$ 提示：$y=-2x^{2}-4x + 8=-2(x + 1)^{2}+10$，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式是 $y=-2(x + 1+2)^{2}+10 + 3=-2(x + 3)^{2}+13=-2x^{2}-12x - 5$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$的图象经过点$A(-1,0)$，点$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)若点$P$为直线$BC$上一点，点$P$到$A$，$B$两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点$P$，求新抛物线的顶点坐标.

答案： 解：
(1) $\because$ 二次函数 $y = ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$ 的图象经过点 $A(-1,0)$，点 $B(3,0)$，
$\therefore\begin{cases}a - b+3 = 0\\9a + 3b+3 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-1\\b = 2\end{cases}$；
(2) $\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x = 1$，$C(0,3)$。
$\because$ 点 $P$ 到 $A$，$B$ 两点的距离相等，$\therefore$ 点 $P$ 在抛物线的对称轴直线 $x = 1$ 上。
$\because B(3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore$ 直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x + 3$。令 $x = 1$，则 $y=-1 + 3=2$，
$\therefore P(1,2)$。设平移后的新抛物线的解析式为 $y=-(x - h)^{2}+4$，$\because$ 新抛物线经过点 $P$，$\therefore2=-(1 - h)^{2}+4$，解得 $h_{1}=1+\sqrt{2}$，$h_{2}=1-\sqrt{2}$，$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标为 $(1+\sqrt{2},4)$ 或 $(1-\sqrt{2},4)$。

3. 将抛物线$y = 2x^{2}+16x - 1$绕顶点旋转$180^{\circ}$后所得抛物线的表达式为______________.

答案： $y=-2x^{2}-16x - 65$ 提示：$\because y = 2x^{2}+16x - 1=2(x + 4)^{2}-33$，$\therefore$ 原抛物线的顶点坐标为 $(-4,-33)$。$\because$ 抛物线 $y = 2x^{2}+16x - 1$ 绕顶点旋转 $180^{\circ}$ 后所得抛物线的开口大小不变，顶点坐标不变，只是开口方向相反，$\therefore$ 旋转后的抛物线表达式为 $y=-2(x + 4)^{2}-33=-2x^{2}-16x - 65$。

4. 如图，已知开口向下的抛物线$C_{1}:y_{1}=ax^{2}-2ax + 1$过点$A(m,1)$，与$y$轴交于点$C$，顶点为$B$，将抛物线$C_{1}$绕点$C$旋转$180^{\circ}$得到抛物线$C_{2}$，点$A$，$B$的对应点分别为点$D$，$E$.
(1)直接写出点$A$，$C$，$D$的坐标；
(2)当四边形$ABDE$是矩形时，求$a$的值及抛物线$C_{2}$的表达式.

答案：
解：
(1)将 $A(m,1)$ 的坐标代入 $y_{1}=ax^{2}-2ax + 1$，得 $am^{2}-2am + 1=1$，
解得 $m_{1}=2$，$m_{2}=0$（舍去），
$\therefore A(2,1)$，$C(0,1)$，$D(-2,1)$；
(2) $\because y_{1}=ax^{2}-2ax + 1=a(x - 1)^{2}+1 - a$，
$\therefore B(1,1 - a)$。如图，过点 $B$ 作 $BM\perp y$ 轴，连结 $CD$，$BC$，若四边形 $ABDE$ 为矩形，则 $BC = CD$，$\therefore BM^{2}+CM^{2}=BC^{2}=CD^{2}$。
$\because BM = 1$，$CM=1 - a - 1=-a$，$CD = 2$，
$\therefore1^{2}+(-a)^{2}=2^{2}$，$\therefore a=\pm\sqrt{3}$。
$\because$ 抛物线 $C_{1}$ 开口向下，$\therefore a=-\sqrt{3}$，$B(1,1+\sqrt{3})$。$\because C_{2}$ 由 $C_{1}$ 绕点 $C$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到，$\therefore$ 顶点 $E(-1,1-\sqrt{3})$，
$\therefore y_{2}=\sqrt{3}(x + 1)^{2}+1-\sqrt{3}=\sqrt{3}x^{2}+2\sqrt{3}x + 1$。

5. 将抛物线$y=(x - 1)^{2}-4$沿直线$x=\frac{3}{2}$翻折，得到一个新抛物线，则新抛物线的表达式为____________.

答案： $y=(x - 2)^{2}-4$ 提示：抛物线 $y=(x - 1)^{2}-4$ 的顶点坐标为 $(1,-4)$，点 $(1,-4)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 的对称点为 $(2,-4)$。
$\because$ 抛物线沿直线 $x=\frac{3}{2}$ 翻折后，抛物线开口方向、大小不变，$\therefore$ 新抛物线的表达式为 $y=(x - 2)^{2}-4$。

6. 已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的图象过点$A(-1,0)$和$C(0,2)$.
(1)求二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)将二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的图象在直线$y = 1$上方的部分沿直线$y = 1$翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为$G$，点$M(m,y_{1})$在图象$G$上，且$y_{1}\geq0$，求$m$的取值范围.

答案：
解：
(1)把 $A(-1,0)$ 和 $C(0,2)$ 的坐标分别代入二次函数表达式，得
$\begin{cases}-1 - b + c=0\\c = 2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b = 1\\c = 2\end{cases}$，则二次函数表达式为 $y=-x^{2}+x + 2$，其图象的对称轴为直线 $x=-\frac{1}{2\times(-1)}=\frac{1}{2}$；
(2)如图，顶点 $P(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$ 翻折后成为 $N(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$，
$\therefore$ 翻折部分的函数表达式为 $y=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$。$\because M(m,y_{1})$，$y_{1}\geqslant0$，
$\therefore$ 点 $M$ 只能位于图象 $G$ 在 $x$ 轴及 $x$ 轴上方的部分，把 $y = 0$ 代入 $y=-x^{2}+x + 2$，得 $-x^{2}+x + 2=0$，解得 $x = 2$ 或 $x=-1$。把 $y = 0$ 代入 $y=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，
得 $(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}=0$，解得 $x = 1$ 或 $x = 0$，根据图象 $G$，可得 $m$ 的取值范围为 $-1\leqslant m\leqslant0$ 或 $1\leqslant m\leqslant2$。