《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

22. 如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为______。

答案：
$6 + \pi$　提示:如图，设$\odot O$与扇形相切于点$A$，$B$，连结$OA$，则$\angle CAO = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 30^{\circ}$。
∵一半径为$1$的圆内切于一个圆心角为$60^{\circ}$的扇形，
∴$AO = 1$，
∴$CO = 2AO = 2$，
∴$BC = 2 + 1 = 3$，
∴扇形的弧长为$\frac{60\pi\times3}{180}=\pi$，
∴扇形的周长为$3 + 3 + \pi = 6 + \pi$。

23. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线。将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连结DC′。求在旋转过程中点C扫过路径的长。（结果保留π）

答案：
解:如图，连结$BD$交$AC$于点$O$。
∵四边形$ABCD$是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，
∴$\angle BAC = 30^{\circ}$，$AC\perp BD$。在$\triangle ABO$中，
∵$\angle BAO = 30^{\circ}$，$AB = 6$，
∴$AO = AB\times\cos30^{\circ}=3\sqrt{3}$，
∴$AC = 6\sqrt{3}$。
又由旋转知$\angle CAC' = 60^{\circ}$，
∴$l_{\overset{\frown}{CC'}}=\frac{60\pi\times6\sqrt{3}}{180}=2\sqrt{3}\pi$。

24. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2。
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积。

答案： 解:
(1)
∵在矩形$ABCD$中，$AB = 2DA$，$DA = 2$，
∴$AB = AE = CD = 4$，
∴$DE = \sqrt{AE^{2}-AD^{2}} = 2\sqrt{3}$，
∴$EC = CD - DE = 4 - 2\sqrt{3}$；
(2)
∵$\sin\angle DEA = \frac{AD}{AE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle DEA = 30^{\circ}$，
∴$\angle DAE = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$，
∴图中阴影部分的面积为$S_{扇形 AFE}-S_{\triangle DAE}=\frac{60\pi\times4^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}$。

25. 如图，在直角坐标平面内，△ABC的三个顶点分别为A(-1,2)，B(-2,1)，C(1,1)，△A₁B₁C是△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的。
（1）求出线段AC在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π）
（2）求出线段AB在旋转过程中所扫过的面积。（结果保留π）

答案： 解:
(1)线段$AC$在旋转过程中所扫过的面积$=\frac{90\cdot\pi\cdot(\sqrt{1^{2}+2^{2}})^{2}}{360}=\frac{5\pi}{4}$；
(2)线段$AB$在旋转过程中所扫过的面积$=\frac{90\cdot\pi\cdot BC^{2}}{360}-\frac{90\cdot\pi\cdot AC^{2}}{360}=\pi$。

26.（丹东中考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，OC，若AB=6，∠A=30°，则$\overset{\frown}{BC}$的长为 （ ）


A. 6π
B. 2π
C. $\frac{3}{2}\pi$
D. π

答案： D

27.（河北中考）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与$\overset{\frown}{AMB}$所在圆相切于点A，B。若该圆半径是9 cm，∠P=40°，则$\overset{\frown}{AMB}$的长是 （ ）


A. 11π cm
B. $\frac{11}{2}\pi$ cm
C. 7π cm
D. $\frac{7}{2}\pi$ cm

答案： A　提示:在题图上作$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，$OA$，$OB$交于点$O$，
∴$\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$。
∵$\angle P = 40^{\circ}$，
∴$\angle AOB = 140^{\circ}$，
∴$\overset{\frown}{AMB}$对应的圆心角为$360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ}$，
∴$\overset{\frown}{AMB}$的长是$\frac{220\pi\times9}{180}=11\pi(\text{cm})$。

28.（赤峰中考）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 2π
B. 2$\sqrt{2}$
C. 2π - 4
D. 2π - 2$\sqrt{2}$

答案： C　提示:在题图上连结$OE$，$OC$，$BC$，由旋转知$AC = AD$，$\angle CAD = 30^{\circ}$，
∴$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle ACE=(180^{\circ} - 30^{\circ})\div2 = 75^{\circ}$，
∴$\angle BCE = 90^{\circ} - \angle ACE = 15^{\circ}$，
∴$\angle BOE = 2\angle BCE = 30^{\circ}$，
∴$\angle EOC = 90^{\circ}$，即$\triangle EOC$为等腰直角三角形。
∵$CE = 4$，
∴$OE = OC = 2\sqrt{2}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形 OEC}-S_{\triangle OEC}=\frac{90\pi\times(2\sqrt{2})^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=2\pi - 4$。

29. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形。若正三角形边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为______ cm。

答案： $6\pi$