《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 下列图形中，阴影部分面积为 1 的是（ ）
　　
　　


A. $y = x^{2}-1$
B. $y=-4x^{2}-4x$
C. $y = 2x^{2}-4x$
D. $y=-x^{2}+2$

答案： A 提示：A. 该抛物线与坐标轴交于点(-1,0)，(1,0)，(0,-1)，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积$S = \frac{1}{2}×2×1 = 1$；B. 该抛物线与$x$轴交于点(0,0)，(-1,0)，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},1)$，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积$S = \frac{1}{2}×1×1 = \frac{1}{2}$；C. 该抛物线与$x$轴交于点(0,0)，(2,0)，顶点坐标为(1,-2)，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积$S = \frac{1}{2}×2×2 = 2$；D. 该抛物线与坐标轴交于$(-\sqrt{2},0)$，$(\sqrt{2},0)$，(0,2)，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积$S = \frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2 = 2\sqrt{2}$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$在$x$轴的负半轴上，点$B$在$x$轴的正半轴上，与$y$轴交于点$C$，且$CO = 2AO$，$CO = BO$，$AB = 3$. 在此抛物线上的某点$M$，使$\triangle MAB$的面积等于 4，这样的点共有________个.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 2 提示：根据题意可求得抛物线表达式为$y=(x + 1)(x - 2)=x^{2}-x - 2=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}$。
∵要使$\triangle MAB$的面积等于 4，须使$M$到$x$轴的距离为$\frac{8}{3}$。
∵$\frac{8}{3}＞\frac{9}{4}$，
∴这样的点共有 2 个。

3. 如图，四边形$OABC$是边长为 1 的正方形，$OC$与$x$轴正半轴的夹角为$15^{\circ}$，点$B$在抛物线$y = ax^{2}(a\lt0)$上，求$a$的值.
　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，连结$OB$，过点$B$作$BD\perp x$轴于点$D$，则$\angle BOC = 45^{\circ}$，$\angle BOD = 30^{\circ}$。已知正方形的边长为 1，则$OB = \sqrt{2}$。在$Rt\triangle OBD$中，$OB = \sqrt{2}$，$\angle BOD = 30^{\circ}$，则$BD = \frac{1}{2}OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$OD = \frac{\sqrt{3}}{2}OB = \frac{\sqrt{6}}{2}$，故$B(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。将$B$点坐标代入抛物线的解析式中，得$(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$a = -\frac{\sqrt{2}}{3}$。

4. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，若抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，则称$\triangle ABC$为抛物线的“交轴三角形”.
(1)求抛物线$y = x^{2}-1$的“交轴三角形”的面积；
(2)写出抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$存在“交轴三角形”的条件.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵抛物线$y = x^{2}-1$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(1,0)$，与$y$轴交于(0,-1)，
∴“交轴三角形”$\triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}×2×1 = 1$；
(2)抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$存在“交轴三角形”的条件：$b^{2}-4ac＞0$且$c\neq0$。

5. 已知抛物线$y =-\frac{1}{4}x^{2}+bx + c$经过点$A(4,3)$，顶点为$B$，对称轴是直线$x = 2$.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点$B$的坐标；
(2)如图，抛物线与$y$轴交于点$C$，连结$AC$，过$A$作$AD\perp x$轴于点$D$，$E$是线段$AC$上的动点（点$E$不与$A$，$C$两点重合），若直线$BE$将四边形$ACOD$分成面积比为$1:3$的两部分，求点$E$的坐标.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+bx + c$经过点$A(4,3)$，对称轴是直线$x = 2$，
∴$\begin{cases}-\frac{1}{4}×4^{2}+4b + c = 3\\-\frac{b}{2×(-\frac{1}{4})}=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 1\\c = 3\end{cases}$，
∴抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}+x + 3$。
∵$y = -\frac{1}{4}x^{2}+x + 3 = -\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$，
∴顶点$B$的坐标为(2,4)；
(2)
∵$y = -\frac{1}{4}x^{2}+x + 3$，
∴$x = 0$时，$y = 3$，则点$C$的坐标为(0,3)。
∵$A(4,3)$，
∴$AC// OD$。
∵$AD\perp x$，
∴四边形$ACOD$是矩形。设点$E$的坐标为$(m,3)$，直线$BE$的函数表达式为$y = kx + n$，直线$BE$交$x$轴于点$M$，如图所示，则$\begin{cases}2k + n = 4\\mk + n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{m - 2}\\n = \frac{4m - 6}{m - 2}\end{cases}$，
∴直线$BE$的函数表达式为$y = -\frac{1}{m - 2}x+\frac{4m - 6}{m - 2}$。令$y = -\frac{1}{m - 2}x+\frac{4m - 6}{m - 2}=0$，则$x = 4m - 6$，
∴点$M$的坐标为$(4m - 6,0)$。
∵直线$BE$将四边形$ACOD$分成面积比为 1:3 的两部分，
∴点$M$在线段$OD$上，点$M$不与点$O$重合。
∵$C(0,3)$，$A(4,3)$，$M(4m - 6,0)$，$E(m,3)$，
∴$OC = 3$，$AC = 4$，$OM = 4m - 6$，$CE = m$，
∴$S_{矩形 ACOD}=OC\cdot AC = 3×4 = 12$，$S_{梯形 ECOM}=\frac{1}{2}(OM + EC)\cdot OC=\frac{1}{2}(4m - 6 + m)×3=\frac{15m - 18}{2}$。分两种情况：①$\frac{S_{梯形 ECOM}}{S_{矩形 ACOD}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{\frac{15m - 18}{2}}{12}=\frac{1}{4}$，解得$m = \frac{8}{5}$，
∴点$E$的坐标为$(\frac{8}{5},3)$；②$\frac{S_{梯形 ECOM}}{S_{矩形 ACOD}}=\frac{3}{4}$，即$\frac{\frac{15m - 18}{2}}{12}=\frac{3}{4}$，解得$m = \frac{12}{5}$，
∴点$E$的坐标为$(\frac{12}{5},3)$。综上所述，点$E$的坐标为$(\frac{8}{5},3)$或$(\frac{12}{5},3)$。