《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

20. 利用函数图象求下列方程(组)的解：
(1)$x^{2}-2x = 0$； (2)$x^{2}+2x + 1 = 0$；
(3)$x^{2}-2x + 2 = 0$； (4)$\begin{cases}y = x + 2\\y = x^{2}+2x\end{cases}$

答案：
解：
(1)函数$y = x^{2}-2x$的图象如下：

则方程的解是$x_{1}=0$，$x_{2}=2$；
(2)函数$y = x^{2}+2x + 1$的图象如下：

则方程的解是$x_{1}=x_{2}=-1$；
(3)函数$y = x^{2}-2x + 2$的图象如下：

则方程无实数解；
(4)如图，在同一坐标系中画出函数$y = x + 2$与$y = x^{2}+2x$的图象,
由图象观察得出$y = x + 2$与$y = x^{2}+2x$的交点有两个，分别为$(-2,0)$，$(1,3)$。
∴$\begin{cases}y = x + 2\\y = x^{2}+2x\end{cases}$的解为$\begin{cases}x_{1}=-2\\y_{1}=0\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=1\\y_{2}=3\end{cases}$。

21. 如图，已知直线$y_{1}=-x + 3$与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx + c$经过点$B$，$C$并与$x$轴交于点$A(-1,0)$.
(1)求抛物线的解析式，并求出抛物线顶点$D$的坐标；
(2)当$y_{2}＜0$时，求$x$的取值范围；
(3)当$y_{1}＜y_{2}$时，求$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)对于$y_{1}=-x + 3$，当$x = 0$时，$y = 3$，
∴$C(0,3)$，当$y = 0$时，$x = 3$，
∴$B(3,0)$。
∵抛物线与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，
∴设抛物线解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$。又抛物线过点$C(0,3)$，
∴$3=a(0 + 1)(0 - 3)$，解得$a=-1$，
∴$y=-(x + 1)(x - 3)=-x^{2}+2x + 3$，
∴顶点$D(1,4)$；
(2)由
(1)和图象知，当$y_{2}＜0$时，$x$的取值范围为$x＜-1$或$x＞3$；
(3)由
(1)和图象知当$y_{1}＜y_{2}$时，$x$的取值范围为$0＜x＜3$。

22. 阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程$x^{2}-2x = 0$，通过因式分解将方程化为$x(x - 2)=0$，从而得到$x = 0$或$x - 2 = 0$两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解.
(1)利用上述方法解一元二次不等式：$2x(x - 1)-3(x - 1)＜0$；
(2)利用函数的观点解一元二次不等式$x^{2}+6x + 5＞0$.

答案： 解：
(1)$2x(x - 1)-3(x - 1)＜0$可化为$(x - 1)(2x - 3)＜0$，
∴①$\begin{cases}x - 1＞0\\2x - 3＜0\end{cases}$或②$\begin{cases}x - 1＜0\\2x - 3＞0\end{cases}$，
解①得$1＜x＜\frac{3}{2}$，
解②得$x＜1$且$x＞\frac{3}{2}$(此不等式组无解)，
∴原不等式的解集为$1＜x＜\frac{3}{2}$；
(2)设$y = x^{2}+6x + 5$，当$y = 0$即$x^{2}+6x + 5=0$时，可求得$x=-5$或$x=-1$，即$y = x^{2}+6x + 5$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-5,0)$和$(-1,0)$，且开口向上，
∴原不等式的解集为$x＜-5$或$x＞-1$。

23. (荆门中考)抛物线$y=-x^{2}+4x - 4$与坐标轴的交点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C 提示：当$x = 0$时，$y=-x^{2}+4x - 4=-4$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-4)$；当$y = 0$时，$-x^{2}+4x - 4=0$，解得$x_{1}=x_{2}=2$，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，所以抛物线与坐标轴有$2$个交点。

24. (兰州中考)下表是一组二次函数$y = x^{2}+3x - 5$的自变量$x$与函数值$y$的对应值，那么方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的一个近似根是（ ）


A. 1
B. 1.1
C. 1.2
D. 1.3

答案： C

25. (贺州中考)如图，已知抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y = kx + m$交于$A(-3,y_{1})$，$B(1,y_{2})$两点，则关于$x$的不等式$ax^{2}+c\geqslant -kx + m$的解集是（ ）

A. $x\leqslant - 3$或$x\geqslant 1$
B. $x\leqslant - 1$或$x\geqslant 3$
C. $-3\leqslant x\leqslant 1$
D. $-1\leqslant x\leqslant 3$

答案：
D 提示：
∵$y = kx + m$与$y=-kx + m$的图象关于$y$轴对称，
∴直线$y=-kx + m$与抛物线$y = ax^{2}+c$的交点$A'$，$B'$与点$A$，$B$也关于$y$轴对称，如图。
∵$A(-3,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，
∴$A'(3,y_{1})$，$B'(-1,y_{2})$，根据函数图象得不等式$ax^{2}+c\geq - kx + m$的解集是$-1\leq x\leq3$。

26. 探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数$y = 2x^{2}$与一次函数$y = x + 2$的图象，求一元二次方程$2x^{2}=x + 2$的近似根”.小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根$x_{1}$和$x_{2}$满足$-1＜x_{1}＜0,1＜x_{2}＜2$.小华的上述方法体现的数学思想是（ ）

A. 公理化
B. 分类讨论
C. 数形结合
D. 由特殊到一般

答案： C