《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

8. 如图，B是⊙O外一点，连结OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为点C.
求证：AD平分∠BAC.

答案：
证明：如图，连结OD.
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD.
∵AC⊥BD，
∴OD//AC，
∴∠2 = ∠3.
∵OA = OD，
∴∠1 = ∠3，
∴∠1 = ∠2，即AD平分∠BAC.
　　　　　

9. 如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和与圆相交的线PA，交⊙O于点A，B，连结AC，BC.求证：∠PCA = ∠PBC.

答案：
证明：如图，连结OC，OA.
∵OC = OA，
∴∠ACO = ∠CAO.
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO = 90°，即∠PCA + ∠ACO = 90°.在△AOC中，∠ACO + ∠CAO + ∠AOC = 180°，
∵∠AOC = 2∠PBC，
∴2∠ACO + 2∠PBC = 180°，
∴∠ACO + ∠PBC = 90°.
∵∠PCA + ∠ACO = 90°，
∴∠PCA = ∠PBC.

10. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD.求证：BO⊥CO.

答案： 证明：
∵AB//CD，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠OBC + ∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠DCB)=$\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴∠BOC = 90°，
∴BO⊥CO.

11. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E，F两点，连结DE，已知∠B = 30°，⊙O的半径为12，$\overset{\frown}{DE}$的度数为60°.
求证：DE//BC.

答案：
证明：如图，连结OD，OE.
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA = 90°.
∵$\overset{\frown}{DE}$的度数为60°，
∴∠DOE = 60°.
又
∵OD = OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE = 60°，
∴∠EDA = 30°，
∴∠B = ∠EDA，
∴DE//BC.
　　　

12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF//BC，EF与AB，AC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：AF + CF = AB.

答案：
证明：
(1)如图，连结OD.
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD = ∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BD}$=$\overset{\frown}{CD}$，
∴OD⊥BC.
∵BC//EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
　　　　
(2)如图，连结BD并延长交AF的延长线于点H，连结CD.
∵AB是直径，
∴∠ADB = 90°，即AD⊥BH，
∴∠ADB = ∠ADH = 90°.
在△ADH和△ADB中，
$\begin{cases}\angle HAD=\angle BAD, \\AD = AD, \\\angle ADH=\angle ADB\end{cases}$
∴△ADH≌△ADB，
∴AH = AB.
∵BC//EF，
∴∠BCD = ∠CDF.
∵∠BCD = ∠BAD = ∠HAD，
∴∠CDF = ∠CAD，
同理∠HDF = ∠EDB = ∠BAD，
∴∠CDF = ∠HDF.
在△CDF和△HDF中，
$\begin{cases}\angle CDF=\angle HDF, \\DF = DF, \\\angle CFD=\angle HFD = 90^{\circ}\end{cases}$
∴△CDF≌△HDF，
∴CF = FH，
∴AF + CF = AF + FH = AH = AB，即AF + CF = AB.