《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 将抛物线$y = x^2 - 2$向上平移1个单位长度后所得新抛物线的表达式为（ ）
A. $y = x^2 - 1$
B. $y = x^2 - 3$
C. $y = (x + 1)^2 - 2$
D. $y = (x - 1)^2 - 2$

答案： A

2.（教材P16，T2变式）将抛物线$y = 2x^2$经过怎样的平移可得到抛物线$y = 2(x + 3)^2 + 4$（ ）
A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度
B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度
D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度

答案： A 提示：抛物线$y = 2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y = 2(x + 3)^2 + 4$的顶点坐标为$(-3,4)$，点$(0,0)$需要先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点$(-3,4)$.$\therefore$抛物线$y = 2x^2$先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线$y = 2(x + 3)^2 + 4$.

3. 将$y = -(x + 4)^2 + 1$的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数的最大值为（ ）
A. $y = -2$
B. $y = 2$
C. $y = -3$
D. $y = 3$

答案： A 提示：将$y = -(x + 4)^2 + 1$的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式是$y = -(x + 4 - 2)^2 + 1 - 3$，即$y = -(x + 2)^2 - 2$.所以其顶点坐标是$(-2,-2)$.由于该函数图象开口向下，因此所对应的函数的最大值是$-2$.

4. 将抛物线$y = -3x^2$平移，使其顶点到点$P(-2,1)$的位置，则所得新抛物线的表达式是 ______ 。

答案： $y = -3(x + 2)^2 + 1$

5. 将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度可得二次函数$y = 2(x + 1)^2 - 3$的图象，求原二次函数的表达式。

答案： 解：根据题意，把二次函数$y = 2(x + 1)^2 - 3$的图象向下平移3个单位长度得到$y = 2(x + 1)^2 - 6$的图象，再向左平移1个单位长度，得到$y = 2(x + 1 + 1)^2 - 6$的图象，即原二次函数的表达式为$y = 2(x + 2)^2 - 6$.

6. 下列抛物线中，与抛物线$y = 2(x - 1)^2 + 2$形状相同的是（ ）
A. $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$
B. $y = 2x^2$
C. $y = (x - 1)^2 + 2$
D. $y = (2x - 1)^2 + 2$

答案： B 提示：当二次项系数的绝对值相同时，抛物线的形状相同.$\because$在抛物线$y = 2(x - 1)^2 + 2$中，$a = 2$，$\therefore$选项中与已知抛物线形状相同的抛物线是$y = 2x^2$.

7. 二次函数$y = 2(x + 2)^2 - 1$的图象是（ ）

答案： C 提示：$\because a = 2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上.$\because$二次函数表达式为$y = 2(x + 2)^2 - 1$，$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴为直线$x = -2$.

8.（教材P16，T1变式）如图，画出二次函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$的图象，并画出将图象沿$x$轴向右平移3个单位长度后的图象。平移后图象所对应的函数关系式为 ________________________ 。

答案：
解：$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2$ 画图如图所示.

9. 在如图所示的方格中，画出$y = (x - 2)^2 - 1$的图象，并根据图象回答：
(1)$x$取何值时，$(x - 2)^2 - 1 = 0$；
(2)$x$取何值时，$(x - 2)^2 - 1 ＞ 0$；
(3)$x$取何值时，$(x - 2)^2 - 1 ＜ 0$。

答案：
解：列表得：

描点、连线，画图，如图所示.

(1)$\because$二次函数的图象与$x$轴相交于$(1,0)$，$(3,0)$两点，$\therefore$当$x = 1$或$x = 3$时，$(x - 2)^2 - 1 = 0$；
(2)$\because$当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线在$x$轴的上方，$\therefore$当$x＜1$或$x＞3$时，$(x - 2)^2 - 1＞0$；
(3)$\because$当$1＜x＜3$时抛物线在$x$轴的下方，$\therefore$当$1＜x＜3$时，$(x - 2)^2 - 1＜0$.