《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

21. 已知二次函数$y = a(x - 1)^2 - c$的图象如图所示，则一次函数$y = ax + c$的大致图象可能是（ ）

答案： A 提示：根据二次函数的图象开口向上得$a＞0$，根据$-c$是二次函数顶点的纵坐标得出$-c＜0$，即$c＞0$，故一次函数$y = ax + c$的图象经过第一、二、三象限.

22. 抛物线$y = a(x + 1)^2 + 2$的一部分如图所示，该抛物线在$y$轴右侧部分与$x$轴交点的坐标是（ ）

A. $(\frac{1}{2},0)$
B. $(1,0)$
C. $(2,0)$
D. $(3,0)$

答案： B 提示：因为抛物线$y = a(x + 1)^2 + 2$的对称轴为直线$x = -1$，抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(-3,0)$，根据抛物线的对称性，抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(1,0)$.

23. 已知抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3$，给出下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线$x = 1$；③顶点坐标为$(-1,3)$；④$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小。
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 提示：①$\because a = -\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线$x = -1$，故错误；③顶点坐标为$(-1,3)$，正确；④$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -1$，$\therefore x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，正确.综上，结论正确的是①③④，共3个.

24. 已知二次函数$y = a(x - h)^2 + k(a ＞ 0)$，其图象过点$A(0,2),B(8,3)$，则$h$的值可以是（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： D

25. 抛物线$y = 3(x - 2)^2 + 5$的顶点坐标是 ______ 。

答案： $(2,5)$

26. 二次函数$y = (x - 1)^2 + 2$，当$x =$ ______ 时，$y$有最小值。

答案： 1 提示：$\because a = 1＞0$，$\therefore$当$x = 1$时，$y$有最小值2.

27. 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在二次函数$y = (x - 1)^2 + 1$的图象上，若$x_1 ＞ x_2 ＞ 1$，则$y_1$ ____ $y_2$。（选填“＞”“＜”或“=”）

答案： ＞ 提示：由二次函数$y = (x - 1)^2 + 1$可知其图象的对称轴为直线$x = 1$.$\because x_1＞x_2＞1$，$\therefore$两点均在对称轴的右侧.$\because$此函数图象开口向上，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大.又$\because x_1＞x_2＞1$，$\therefore y_1＞y_2$.

28. 在平面直角坐标系中，点$A$是抛物线$y = a(x - 3)^2 + k$与$y$轴的交点，点$B$是这条抛物线上的另一点，且$AB // x$轴，则以$AB$为边的等边三角形$ABC$的周长为 ______ 。

答案： 18 提示：$\because$抛物线$y = a(x - 3)^2 + k$的对称轴为直线$x = 3$，且$AB// x$轴，$\therefore AB = 2\times3 = 6$，$\therefore$等边三角形$ABC$的周长$= 3\times6 = 18$.

29. 将抛物线$y = (x - 3)^2 + 1$先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式为 ______ 。

答案： $y = (x - 2)^2 + 3$ 提示：抛物线$y = (x - 3)^2 + 1$先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式为$y = (x - 3 + 1)^2 + 1 + 2 = (x - 2)^2 + 3$，即$y = (x - 2)^2 + 3$.

30. 若二次函数$y = (x - m)^2 - 1$，当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是 ______ 。

答案： $m\geqslant1$ 提示：$\because$二次函数$y = (x - m)^2 - 1$的二次项系数$1＞0$，$\therefore$该二次函数的图象开口向上.又$\because$该二次函数图象的顶点坐标是$(m,-1)$，$\therefore$对称轴为直线$x = m$，$\therefore$当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小.已知当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore m\geqslant1$.

31. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
(1)$y = 2(x - 3)^2 + 5$；
(2)$y = -3(x + 1)^2 + 2$。

答案： 解：
(1)$y = 2(x - 3)^2 + 5$，开口向上，对称轴是直线$x = 3$，顶点坐标为$(3,5)$；
(2)$y = -3(x + 1)^2 + 2$，开口向下，对称轴是直线$x = -1$，顶点坐标为$(-1,2)$.

32. 已知二次函数$y = -(x - 1)^2 + 4$。
(1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象写出当$y$为正数时$x$的取值范围。

答案：
解：
(1)列表、描点、连线、画图如下：


(2)如
(1)中图所示，当$y$为正数时，$x$的取值范围为$-1＜x＜3$.