《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

20. 如图，$\triangle AOB$是等边三角形，且点$O$，$A$的坐标分别为$(0,0)$，$(2,0)$.若某抛物线经过$\triangle AOB$的三个顶点，求该抛物线的解析式.

答案： 解:
∵点O,A的坐标分别为(0,0),(2,0),
∴OA=2,在题图上作BC⊥OA于点C,
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°,OB=OA=2,OC=AC=1,
∴BC=$\sqrt{3}$,
∴点B(1,$\sqrt{3}$)。设该抛物线的解析式为y=a(x−1)²+$\sqrt{3}$,代入O(0,0)的坐标,得a(0−1)²+$\sqrt{3}$=0,解得a=−$\sqrt{3}$,故该抛物线的解析式为y=−$\sqrt{3}$(x−1)²+$\sqrt{3}$。

21. 如图，直线$y = 3x + 3$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，过$A$，$B$两点的抛物线交$x$轴于另一点$C$，已知抛物线的对称轴为直线$x = 1$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标.

答案： 解:
(1)当x=0时,y=3,当y=0时，x=−1,
∴A(−1,0),B(0,3)。
∵抛物线的对称轴为直线x=1,由对称性得C(3,0),
∴设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−3)。将(0,3)代入得a=−1,
∴二次函数的表达式为y=−(x+1)(x−3)=−x²+2x+3;
(2)
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴抛物线的顶点坐标是(1,4)。

22. 一大桥的桥拱为抛物线型，跨度$AB = 50$ m，拱高(即顶点$C$到$AB$的距离)为20 m，建立如图所示的直角坐标系，顶点$C$在$x$轴上，点$A$在$y$轴上，且$AB// x$轴，求桥拱所在抛物线的表达式.

答案： 解:由题意得点C的坐标为(25,0)，A(0,−20),设抛物线表达式为y=a(x−25)²,将点A坐标代入,得a×25²=−20,解得a=−$\frac{4}{125}$,
∴桥拱所在抛物线的表达式为y=−$\frac{4}{125}$(x−25)²。

23. 已知二次函数的图象经过点$(0,3)$，$(2,-5)$，且与$x$轴交于$A$，$B$两点，其中点$A$坐标为$(-3,0)$.
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出$\triangle PAB$的面积；如果不在，试说明理由.

答案： 解:
(1)设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c。
∵二次函数的图象经过点(0,3),(−3,0),(2,−5),
∴有$\begin{cases}c = 3\\9a - 3b + c = 0\\4a + 2b + c = -5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\\c = 3\end{cases}$，
∴y=−x²−2x+3;
(2)
∵−(−2)²−2×(−2)+3=−4+4+3=3,
∴点P(−2,3)在这个二次函数的图象上。
∵二次函数y=−x²−2x+3与x轴的一个交点坐标为(−3,0),且图象的对称轴为直线x=−1,故与x轴的另一交点坐标为(1,0),
∴AB = 4，
∴S_{\triangle PAB}=$\frac{1}{2}$×4×3 = 6。

24. (百色中考)经过$A(4,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,3)$三点的抛物线的解析式是________________.

答案： y=−$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3　提示:根据题意设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−4),把C(0,3)的坐标代入得−8a=3,即a=−$\frac{3}{8}$,则抛物线解析式为y=−$\frac{3}{8}$(x+2)(x−4)=−$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3。

25. (上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-1)$，那么这个二次函数的解析式可以是__________.(只需写一个)

答案： y=2x²−1(答案不唯一)

26. (临沂中考)已知抛物线$y = ax^2 - 2ax - 3 + 2a^2(a\neq0)$.
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上，求其解析式；
(3)设点$P(m,y_1)$，$Q(3,y_2)$在抛物线上，若$y_1 ＜ y_2$，求$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=ax²−2ax−3+2a²=a(x−1)²+2a²−a−3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)
∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a²−a−3=0,解得a=$\frac{3}{2}$或a=−1,
∴抛物线为y=$\frac{3}{2}$x²−3x+$\frac{3}{2}$或y=−x²+2x−1;
(3)
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴Q(3,y₂)关于x=1对称的点的坐标为(−1,y₂),
∴当a＞0,−1＜m＜3时,y₁＜y₂;当a＜0,m＜−1或m＞3时,y₁＜y₂。

27. 我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线$y = x^2$和$y = (x - 1)^2$都是“数轴函数”.
(1)抛物线$y = x^2 - 4x + 4$和抛物线$y = x^2 - 6x$是“数轴函数”吗？请说明理由；
(2)若抛物线$y = 2x^2 + 4mx + m^2 + 16$是“数轴函数”，求该抛物线的表达式.

答案： 解:
(1)抛物线y=x²−4x+4是“数轴函数”，抛物线y=x²−6x不是“数轴函数”。理由:
∵y=x²−4x+4=(x−2)²,
∴抛物线顶点坐标为(2,0),在x轴上，
∴抛物线y=x²−4x+4是“数轴函数”;
∵y=x²−6x=(x−3)²−9,
∴抛物线的顶点坐标为(3,−9),在第四象限，
∴抛物线y=x²−6x不是“数轴函数”;
(2)
∵y=2x²+4mx+m²+16=2(x+m)²−m²+16,
∴抛物线的顶点坐标为(−m,−m²+16)。由于抛物线y=2x²+4mx+m²+16是“数轴函数”，分两种情况:①当顶点在x轴上时，−m²+16=0,解得m=±4,抛物线表达式为y=2x²+16x+32或y=2x²−16x+32;②当顶点在y轴上时,−m=0,解得m=0,抛物线表达式为y=2x²+16。
综上,抛物线表达式为y=2x²+16x+32或y=2x²−16x+32或y=2x²+16。