《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

11. 某小区拆除了自建房,改建绿地,如图,自建房占地是边长为8 m的正方形$ABCD$,改建后的绿地是矩形$AEFG$,其中点$E$在$AB$上,点$G$在$AD$的延长线上,且$DG = 2BE$,如果设$BE$的长为$x$(单位:m),绿地$AEFG$的面积为$y$(单位:$m^{2}$),那么$y$与$x$的函数的表达式为________________;当$BE=$_______m时,绿地$AEFG$的面积最大.

答案： $y = - 2x^2 + 8x + 64(0 ＜ x ＜ 8)$ 2
提示：设$BE$的长为$x$，绿地$AEFG$的面积为$y$，则$AE = 8 - x$，$DG = 2x$，$AG = 8 + 2x$，由题图可得$y = AG\cdot AE=(8 + 2x)\cdot(8 - x)= - 2x^2 + 8x + 64(0 ＜ x ＜ 8)$，变形为$y = - 2(x - 2)^2 + 72$，所以当$x = 2$时，$y$有最大值。

12. 如图,二次函数$y_{1}=ax^{2}+bx + c$与一次函数$y_{2}=kx$的图象交于点$A$和原点$O$,点$A$的横坐标为-4,点$A$和点$B$关于抛物线的对称轴对称,点$B$的横坐标为1,则满足$0\lt y_{1}\lt y_{2}$的$x$的取值范围是_______.

答案：
$- 4 ＜ x ＜ - 3$ 提示：如图，$\because$点$A$的横坐标为-4，点$A$和点$B$关于抛物线的对称轴对称，点$B$的横坐标为1，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{3}{2}$。
$\because$点$C$与点$O$关于直线$x = -\frac{3}{2}$对称，
$\therefore$点$C$坐标为(-3,0)，结合图象可知，满足$0 ＜ y_1 ＜ y_2$的$x$的取值范围是$- 4 ＜ x ＜ - 3$。

13. (10分)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$(0,3),(3,6),(-2,11)$.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)证明:无论$x$取何值,函数值$y$总不等于1;
(3)如何平移该函数图象使得函数值$y$能等于1?

答案： 解：
(1)由题意得：
$\begin{cases}c = 3\\9a + 3b + c = 6\\4a - 2b + c = 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{cases}$，$\therefore$该二次函数的关系式为$y = x^2 - 2x + 3$；
(2)证明：$\because y = x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$，
$\therefore$当$x = 1$时，$y$取最小值2，$\therefore$无论$x$取何值，函数值$y$总不等于1；
(3)将该函数图象向下平移的距离大于或等于1个单位长度。

14. (11分)已知二次函数$y = 2x^{2}-mx - m^{2}$.
(1)求证:对于任意实数$m$,二次函数$y = 2x^{2}-mx - m^{2}$的图象与$x$轴总有公共点;
(2)若这个二次函数图象与$x$轴有两个公共点$A,B$,且点$B$坐标为$(1,0)$,求点$A$坐标.

答案： 解：
(1)证明：令$y = 0$，则$2x^2 - mx - m^2 = 0$。$\because\Delta = (-m)^2 - 4\times2\times(-m^2)=9m^2\geq0$，
$\therefore$对于任意实数$m$，二次函数$y = 2x^2 - mx - m^2$的图象与$x$轴总有公共点；
(2)由题意得$2\times1^2 - m - m^2 = 0$，整理得$m^2 + m - 2 = 0$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = - 2$。
当$m = 1$时，二次函数为$y = 2x^2 - x - 1$。令$y = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{2}$，
$\therefore$点$A(-\frac{1}{2},0)$。
当$m = - 2$时，二次函数为$y = 2x^2 + 2x - 4$，令$y = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = - 2$，
$\therefore$点$A(-2,0)$。
综上所述，$A$点坐标为$(-\frac{1}{2},0)$或(-2,0)。

15. (13分)已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象与直线$y = x + 1$相交于点$A(-1,m)$和点$B(n,5)$.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这两个函数的大致图象;
(3)结合图象直接写出$x^{2}+bx + c\gt x + 1$时$x$的取值范围.

答案：
解：
(1)$\because$二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象与直线$y = x + 1$相交于点$A(-1,m)$和点$B(n,5)$，
$\therefore m = - 1 + 1 = 0$，$n + 1 = 5$，即$n = 4$，
$\therefore$点$A(-1,0)$，点$B(4,5)$。将$A$，$B$两点的坐标代入二次函数关系式，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0\\16 + 4b + c = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2\\c = - 3\end{cases}$，
$\therefore$二次函数的关系式为$y = x^2 - 2x - 3$；
(2)这两个函数图象如图所示：

(3)由图象可知，当$x ＜ - 1$或$x ＞ 4$时，$x^2 + bx + c ＞ x + 1$。

16. (14分)今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元.经试销发现,销售量$y$(kg)与销售单价$x$(元/kg)符合一次函数关系,如图是$y$与$x$的函数关系图象.
(1)求$y$与$x$的函数解析式;
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为$W$元,求$W$的最大值.

答案： 解：
(1)设$y = kx + b$，将$x = 20$，$y = 300$和$x = 30$，$y = 280$分别代入，
得$\begin{cases}20k + b = 300\\30k + b = 280\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 340\end{cases}$，
$\therefore y = - 2x + 340(18\leq x\leq40)$；
(2)根据题意得$W=(x - 18)(-2x + 340)=-2x^2 + 376x - 6120=-2(x - 94)^2 + 11552$。
$\because a = - 2 ＜ 0$，$\therefore$当$x ＜ 94$时，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$在$18\leq x\leq40$中，当$x = 40$时，$W$取得最大值，最大值为5720。