《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 若二次函数$y = kx^{2}+2x - 1$的图象与$x$轴仅有一个公共点，则常数$k$的值为（ ）
A. 1
B. $\pm1$
C. -1
D. $-\frac{1}{2}$

答案： C 提示：
∵二次函数$y = kx^{2}+2x - 1$的图象与$x$轴仅有一个公共点，
∴方程$0 = kx^{2}+2x - 1$有两个相等的实数根，则$\Delta=2^{2}-4\times k\times(-1)=0$，解得$k = - 1$。

2. 二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象如图所示，方程$x^{2}+bx + c = 0$的解是_________________.

答案： $x_{1}=-3$，$x_{2}=1$

3. 若二次函数$y = x^{2}+2x + m$的图象与$x$轴没有公共点，则$m$的取值范围是________.

答案： $m＞1$ 提示：
∵二次函数$y = x^{2}+2x + m$的图象与$x$轴没有公共点，
∴$\Delta=2^{2}-4\times1\times m＜0$，解得$m＞1$。

4. 已知关于$x$的二次函数$y = x^{2}-(2m - 1)x + m^{2}+3m + 4$.试探究此二次函数的图象与$x$轴的交点的个数情况.

答案： 解：$\Delta=[-(2m - 1)]^{2}-4(m^{2}+3m + 4)=-16m - 15$，当$\Delta＞0$时，抛物线与$x$轴有$2$个交点，即$-16m - 15＞0$，解得$m＜-\frac{15}{16}$；当$\Delta=0$时，抛物线与$x$轴有$1$个交点，即$-16m - 15=0$，解得$m = -\frac{15}{16}$；当$\Delta＜0$时，抛物线与$x$轴没有交点，即$-16m - 15＜0$，解得$m＞-\frac{15}{16}$。

5. 根据下列表格的对应值：

判断方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$为常数)的一个解$x$的取值范围是（ ）
A. $8＜x＜9$
B. $9＜x＜10$
C. $10＜x＜11$
D. $11＜x＜12$

答案： C 提示：依题意可知当$8＜x＜12$时，$y$随$x$的增大而增大，而$-0.38＜0＜1.2$，
∴方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$为常数$)$的一个解$x$的取值范围是$10＜x＜11$。

6. 在试验中我们常常利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线$y = x^{2}$和直线$y = -x + 3$，观察两图象交点的横坐标来求得一元二次方程$x^{2}+x - 3 = 0$的解，所以求方程$\frac{6}{x}-x^{2}+3 = 0$的近似解也可以画出函数$y = \frac{6}{x}$和__________的图象，观察两图象交点的横坐标来求得.

答案： $y = x^{2}-3$

7. (教材P28,T1变式)利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根.
(1)$x^{2}-2x - 1 = 0$； (2)$x^{2}+5 = 4x$.

答案：
解：
(1)从图象看抛物线$y = x^{2}-2x - 1$，结合不断缩小根所在范围的估计法可求得抛物线与$x$轴的交点大概是$2.4$与$-0.4$，所以一元二次方程$x^{2}-2x - 1=0$的近似解是$x_{1}\approx2.4$，$x_{2}\approx - 0.4$;
(2)从图象可知，抛物线$y = x^{2}-4x + 5$与$x$轴没有交点，所以一元二次方程$x^{2}+5 = 4x$无实数根。

8. 如图是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象，由图象可知不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集是（ ）

A. $-1＜x＜5$
B. $x＞5$
C. $x＜-1$且$x＞5$
D. $x＜-1$或$x＞5$

答案： A 提示：因为抛物线的对称轴为直线$x = 2$，与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$，所以抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$，所以不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集是$-1＜x＜5$。

9. 如图，已知二次函数$y_{1}=\frac{2}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x$的图象与正比例函数$y_{2}=\frac{2}{3}x$的图象交于点$A(3,2)$，与$x$轴交于点$B(2,0)$，若$y_{1}＜y_{2}$，则$x$的取值范围是（ ）

A. $0＜x＜2$
B. $x＜0$或$x＞3$
C. $2＜x＜3$
D. $0＜x＜3$

答案： D 提示：若$y_{1}＜y_{2}$，则二次函数图象在正比例函数图象的下面，此时$x$的取值范围是$0＜x＜3$。