《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

8. 如图,已知⊙O的半径为4,点D是直径AB延长线上一点,DC切⊙O于点C,连结AC,若∠CAB=30°,则BD的长为 ( )

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： B 提示：在题图上连结OC.
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD = 90°.
∵OA = OC且∠CAB = 30°，
∴∠OCA = ∠CAB = 30°，
∴∠DOC = 60°，
∴∠ODC = 30°.
在Rt△OCD中，OC = 4，则OD = 2OC = 8，
∴BD = OD - OB = 8 - 4 = 4.

9. 如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,则∠PCA= ( )

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 67.5°

答案： D 提示：
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD. 又
∵OC = CD，
∴∠COD = 45°.
∵AO = CO，
∴∠ACO = ∠CAO = $\frac{1}{2}∠COD = 22.5°$，
∴∠PCA = 90° - 22.5° = 67.5°.

10. 如图,两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm,弦AB与小圆相切于点C,则AB=( )

A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 8 cm

答案：
D 提示：如图，连结OA，OC.
∵AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC = BC = $\frac{1}{2}AB$. 在Rt△AOC中，OA = 5 cm，OC = 3 cm，根据勾股定理得AC = $\sqrt{OA^{2}-OC^{2}} = 4$ cm，则AB = 2AC = 8 cm.

11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径作圆,交斜边AB于点E,D为AC的中点.连结DO,DE,则下列结论中不一定正确的是 ( )

A. DO//AB
B. △ADE是等腰三角形
C. DE⊥AC
D. DE是⊙O的切线

答案： C 提示：在题图上连结OE.
∵D为AC中点，O为BC中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO//AB，选项A正确；
∵DO//AB，
∴∠COD = ∠B，∠DOE = ∠OEB，∠CDO = ∠A，∠EDO = ∠DEA.
∵OE = OB，
∴∠OEB = ∠B，
∴∠COD = ∠DOE.
在△COD和△EOD中，
$\begin{cases}OC = OE,\\∠COD = ∠EOD,\\OD = OD,\end{cases}$
∴△COD≌△EOD，
∴∠OED = ∠OCD = 90°，∠CDO = ∠EDO.
又OE是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线，选项D正确. 由上可知，∠A = ∠DEA，
∴△AED为等腰三角形，选项B正确，则不一定正确的为DE⊥AC.

12. 如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于点D,DE⊥AC于点E,连结AD,给出下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA =∠B；③OA = $\frac{1}{2}$AC；④DE是⊙O的切线.其中正确的有 ( )

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D 提示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90° = ∠ADC，即AD⊥BC，①正确；在题图上连结OD，
∵D为BC中点，
∴BD = DC.
∵OA = OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴DO//AC，OD = $\frac{1}{2}AC$.
∵OA = OD，
∴OA = $\frac{1}{2}AC$，③正确.
∵DE⊥AC，OD//AC，
∴OD⊥DE. 又
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，
∴④正确.
∵OD⊥DE，
∴∠ADO + ∠EDA = 90°.
∵∠ADB = ∠ADO + ∠ODB = 90°，
∴∠EDA = ∠ODB.
∵OD = OB，
∴∠B = ∠ODB，
∴∠EDA = ∠B，
∴②正确.
∴正确的有4个.

13. 如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为 __________.

答案： ∠ABC = 90°或AB⊥BC

14. 如图,AB是⊙O的直径,O是圆心,BC与⊙O相切于点B,CO交⊙O于点D,且BC=8,CD=4,那么⊙O的半径是 __________.

答案： 6 提示：
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC = 90°. 设⊙O的半径是R，则OC = R + 4，BC = 8，OB = R. 在Rt△OBC中，由勾股定理得OB² + BC² = OC²，即R² + 8² = (R + 4)²，解得R = 6.

15. 如图,已知点A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC = $\frac{1}{2}$OB.则AB________(选填“是”或“不是”)⊙O的切线.

答案： 是 提示：在题图上连结OA.
∵OC = BC，AC = $\frac{1}{2}OB$，
∴AC = OA = OC = BC，
∴∠OAC = ∠OCA = ∠AOC = 60°，∠CAB = ∠CBA.
∵∠OCA = 2∠CAB = 60°，
∴∠CAB = 30°，
∴∠OAB = 60° + 30° = 90°.
又
∵OA为半径，
∴AB是⊙O的切线.

16. 如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BOC=100°,MN是过点B且垂直于OB的直线,则∠ABM =________°,∠CBN =________°.

答案： 65 50 提示：
∵OB = OC，∠BOC = 100°，
∴∠OBC = ∠OCB = $\frac{1}{2}×(180° - 100°)=40°$，∠BAC = $\frac{1}{2}∠BOC = 50°$.
∵AB = AC，
∴∠ACB = ∠ABC = $\frac{180° - 50°}{2}=65°$.
∵MN是过点B且垂直于OB的直线，
∴MN是⊙O的切线，
∴∠OBN = 90°，
∴∠CBN = ∠OBN - ∠OBC = 90° - 40° = 50°，
∴∠ABM = 180° - ∠CBN - ∠ABC = 180° - 50° - 65° = 65°.

17. 如图,AB与⊙O相切于点C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长.

答案： 解：在题图上连结OC.
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高.
∵∠A = ∠B，
∴OA = OB，
即△OAB是等腰三角形.
∴AC = CB = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8$，
在Rt△OCA中，OA = $\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$.