《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

22. 已知$y=(2 - a)x^{a^{2}-7}$是二次函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(1)求$a$的值；
(2)用描点法画出函数的图象.

答案：
解：
(1)由已知得 $a^{2}-7 = 2$ 且 $2 - a\neq0$，解得 $a=\pm3$. 又 $\because$ 当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore2 - a＞0$，即 $a ＜ 2$，$\therefore a = - 3$；
(2)由
(1)可知此函数关系式为 $y = 5x^{2}$，列表：

描点、连线如图所示.

23. 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$(1,3)$.
(1)求$a$的值；
(2)当$x = 3$时，求$y$的值；
(3)说出此二次函数的三条性质.

答案： 解：
(1)$\because$ 抛物线 $y = ax^{2}$ 经过点 $(1,3)$，$\therefore a\times1 = 3$，$\therefore a = 3$；
(2)把 $x = 3$ 代入抛物线 $y = 3x^{2}$，得 $y = 3\times3^{2}=27$；
(3)图象的开口向上；坐标原点是图象的顶点；当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；图象有最低点，当 $x = 0$ 时，$y$ 有最小值，是 $0$.（答案不唯一）

24. 如图，已知直线$l$过$A(4,0)$，$B(0,4)$两点，它与二次函数$y = ax^{2}$的图象在第一象限内相交于点$P$.若$\triangle AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求$a$的值.

答案： 解：设点 $P(x,y)$，直线 $AB$ 的关系式为 $y = kx + b$，将 $A(4,0)$，$B(0,4)$ 的坐标分别代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases}4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = - 1\\b = 4\end{cases}$，故 $y = -x + 4$.$\because\triangle AOP$ 的面积为 $\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\times4\times y$，$\therefore y=\frac{9}{4}$. 再把 $y=\frac{9}{4}$ 代入 $y = -x + 4$，得 $x=\frac{7}{4}$，所以 $P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$.
把点 $P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$ 的坐标代入到 $y = ax^{2}$ 中得 $a=\frac{36}{49}$.

25. 根据条件，求下列各题中$m$的取值或取值范围.
(1)函数$y=(2m - 1)x^{2}$有最小值；
(2)函数$y=(m - 2)x^{2}$，当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而增大；
(3)$y=(m + 1)x^{2}$与$y = 2x^{2}$的函数图象形状相同；
(4)函数$y = mx^{m^{2}+m}$的图象是开口向下的抛物线.

答案： 解：
(1)$\because$ 函数 $y=(2m - 1)x^{2}$ 有最小值，$\therefore2m - 1＞0$，$\therefore m＞\frac{1}{2}$；
(2)$\because$ 当 $x ＜ 0$ 时，函数 $y=(m - 2)x^{2}$ 中 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大，$\therefore m - 2＜0$，$\therefore m ＜ 2$；
(3)$\because y=(m + 1)x^{2}$ 与 $y = 2x^{2}$ 的函数图象形状相同，$\therefore\vert m + 1\vert=\vert2\vert$，$\therefore m = 1$ 或 $m = - 3$；
(4)$\because$ 函数 $y = mx^{m^{2}+m}$ 的图象是开口向下的抛物线，$\therefore m^{2}+m = 2$ 且 $m ＜ 0$，$\therefore m = - 2$.

26. (贵阳中考)二次函数$y = x^{2}$的图象开口方向是 ______.(选填“向上”或“向下”)

答案： 向上

27. (贵港中考)若直线$y = m$($m$为常数)与函数$y=\begin{cases}x^{2}(x\leqslant2),\\\frac{4}{x}(x＞2)\end{cases}$的图象恒有三个不同的交点，则常数$m$的取值范围是 ______。

答案：
$0 ＜ m ＜ 2$ 提示：函数 $y=\begin{cases}x^{2}(x\leqslant2)\\\frac{4}{x}(x ＞ 2)\end{cases}$ 的图象如图所示，故要使直线 $y = m(m$ 为常数 $)$ 与函数 $y=\begin{cases}x^{2}(x\leqslant2)\\\frac{4}{x}(x ＞ 2)\end{cases}$ 的图象恒有三个不同的交点，常数 $m$ 的取值范围为 $0 ＜ m ＜ 2$.

28. (呼和浩特中考)二次函数$y = ax^{2}$与一次函数$y = ax + a$在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )

答案： D 提示：由一次函数 $y = ax + a$ 可知，一次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $(-1,0)$，排除 A，B；当 $a ＞ 0$ 时，二次函数 $y = ax^{2}$ 开口向上，一次函数 $y = ax + a$ 经过一、二、三象限，当 $a ＜ 0$ 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 C.

29. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于$x$轴的直线分别交抛物线$y = x^{2}(x\geqslant0)$和抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}(x\geqslant0)$于点$A$和点$B$，过点$A$作$AC// x$轴交抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$于点$C$，过点$B$作$BD// x$轴交抛物线$y = x^{2}$于点$D$，则$\frac{BD}{AC}$的值为 ( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C