《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

8. 已知二次函数$y = a(x - 1)^2 + b$有最小值-1，则$a,b$的大小关系为（ ）
A. $a ＜ b$
B. $a = b$
C. $a ＞ b$
D. 大小不能确定

答案： C　提示：
∵二次函数y = a(x - 1)² + b有最小值 -1，
∴a＞0，b = -1，
∴a＞b.

9. 若抛物线$y = x^2 - 2x + m$的最低点的纵坐标为$n$，则$m - n$的值是（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

答案： C　提示：
∵y = x² - 2x + m，
∴(4ac - b²)/(4a)=(4×1×m - 4)/(4×1)=n，即m - 1 = n，
∴m - n = 1.

10. 当$0\leq x\leq3$时，函数$y = -x^2 + 4x + 5$的最大值与最小值分别是（ ）
A. 9,5
B. 8,5
C. 9,8
D. 8,4

答案： A　提示：y = -x² + 4x + 5=-(x - 2)² + 9，
∵0≤x≤3，
∴当x = 2时，函数取得最大值9，x = 0时，函数取得最小值5.

11. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是（ ）
A. $600m^2$
B. $625m^2$
C. $650m^2$
D. $675m^2$

答案： B　提示：设矩形的一边长为x m，则其邻边为(50 - x)m，若面积为S m²，则S = x(50 - x)= -x² + 50x=-(x - 25)² + 625.
∵ -1＜0，
∴S有最大值.当x = 25时，面积最大，为625 m².

12. 某学生在练习投篮时，篮球被抛出后，距离地面的高度$h(m)$和飞行时间$t(s)$满足下面的函数关系式：$h = -\frac{1}{2}t^2 + 2t + 2$，则篮球距离地面的最大高度是（ ）
A. 8 m
B. 6 m
C. 4 m
D. 2 m

答案： C　提示：h = -1/2t² + 2t + 2= -1/2(t - 2)² + 4，当t = 2时，函数取得最大值4，即篮球距离地面的最大高度是4 m.

13. 二次函数$y = x^2 + 2x + 3$的最小值是______.

答案： 2　提示：
∵二次函数y = x² + 2x + 3=(x + 1)² + 2，
∴最小值是2.

14. 若$x = 2t - 5$，$y = 10 - t$，$S = xy$，则当$t =$____时，$S$的最大值为_________.

答案： 25/4 225/8 提示：
∵S = xy=(2t - 5)·(10 - t)= -2t² + 25t - 50= -2(t - 25/4)² + 225/8，
∴当t = 25/4时，S取得最大值225/8.

15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为____$m^2$.

答案： 48 提示：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为21 + 3 - 3x=(24 - 3x)m，则总面积S = x(24 - 3x)= -3x² + 24x= -3(x - 4)² + 48，故饲养室的最大面积为48 m².

16. 求下列二次函数的最大值或最小值：
（1）$y = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 3$； （2）$y = -\frac{2}{3}x^2 + 2x - 6$.

答案： 解：
(1)
∵y = 1/5x² - 2x + 3=1/5(x - 5)² - 2，
∴二次函数的图象开口向上，函数有最小值，最小值为 -2；
(2)
∵y = -2/3x² + 2x - 6= -2/3(x - 3/2)² - 9/2，
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，最大值为 -9/2.

17. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形。这两个正方形面积之和有最值吗？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由。

答案： 解：设一段铁丝的长度为x cm，则另一段为(20 - x)cm，
∴S = 1/16x² + 1/16·(20 - x)²=1/8(x - 10)² + 12.5，
∴当x = 10时，S有最小值，为12.5 cm².

18. 我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即$(a + b)^2\geq0$，且$-(a + b)^2\leq0$。据此，我们可以得到下面的推理：
$\because x^2 + 2x + 3=(x^2 + 2x + 1)+2=(x + 1)^2+2$，而$(x + 1)^2\geq0$，$\therefore(x + 1)^2+2\geq2$，故$x^2 + 2x + 3$的最小值是2。
试根据以上方法判断代数式$3y^2 - 6y + 11$是否存在最大值或最小值。若有，请求出它的最大值或最小值。

答案： 解：原式 = 3(y - 1)² + 8，
∵(y - 1)²≥0，
∴3(y - 1)² + 8≥8，
∴代数式有最小值，最小值为8.

19. 某旅行社推出一条成本价为500元/人的省内旅游线路，游客人数$y$(人/月)与旅游报价$x$(元/人)之间的关系为$y = -x + 1300$，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人~1200元/人之间（包含800和1200）。
（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内（包含200），求该旅游线路报价的取值范围；
（2）经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；
（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)由题意得y≤200，即 -x + 1300≤200，解得x≥1100，即该旅游线路报价的取值范围为1100元/人~1200元/人之间(包含1100和1200)；
(2)设经营这条旅游线路每月所需要的成本为z，
∴z = 500(-x + 1300)= -500x + 650000，
∵ -500＜0，
∴当x = 1200时，z最低，即z = 50000；
(3)设经营这条旅游线路的总利润为w，则w=(x - 500)(-x + 1300)= -x² + 1800x - 650000=-(x - 900)² + 160000，当x = 900时，w最大 = 160000.