《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

21.如图，在□ABCD中，∠D=60°，以AB为直径作⊙O，已知AB=10，AD=m.
(1)求O到CD的距离；(用含m的代数式表示)
(2)若m=6，通过计算判断⊙O与CD的位置关系；
(3)若⊙O与线段CD所在直线有一个公共点，求m的值.

答案： 解：
(1)根据平行线间的距离相等，得 $O$ 到 $CD$ 的距离等于 $A$ 到 $CD$ 的距离。根据 $\angle D = 60^{\circ}$，$AD = m$，得 $O$ 到 $CD$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{2}m$；
(2)$\because AB = 10$，$\therefore\odot O$ 的半径为 $\frac{1}{2}AB = 5$，当 $m = 6$ 时，$\frac{\sqrt{3}}{2}m = 3\sqrt{3}＞5$，故 $\odot O$ 与 $CD$ 的位置关系是相离；
(3)若 $\odot O$ 与线段 $CD$ 所在直线有一个公共点，则 $CD$ 所在直线与 $\odot O$ 相切，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}m = 5$，解得 $m=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。

22.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(单位：s)满足什么条件时，⊙P与直线CD相切?

答案：
解：如图，$\angle AOC = 30^{\circ}$，半径为 $1cm$ 的 $\odot P'$ 与直线 $CD$ 相切，则 $P'E = 1cm$，则 $OP' = 2cm$，故 $PP' = 6 - 2 = 4(cm)$，$4\div1 = 4(s)$，则当 $\odot P$ 的运动时间为 $4s$ 时，$\odot P$ 与直线 $CD$ 相切；$\angle DOB=\angle AOC = 30^{\circ}$，半径为 $1cm$ 的 $\odot P''$ 与直线 $CD$ 相切，则 $P''F = 1cm$，则 $OP'' = 2cm$，故 $PP'' = 6 + 2 = 8(cm)$，$8\div1 = 8(s)$，则当 $\odot P$ 的运动时间为 $8s$ 时，$\odot P$ 与直线 $CD$ 相切。
综上所述，当 $\odot P$ 的运动时间 $t$ 为 $4s$ 或 $8s$ 时，$\odot P$ 与直线 $CD$ 相切。
　

23.(浙江中考)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 相交或相切

答案： D

24.(呼和浩特中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.
(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系?
(2)当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切?

答案：
解：
(1)如图，作 $CM\perp AB$，垂足为 $M$。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。$\because\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CM$，$\therefore CM=\frac{12}{5}$。$\because\frac{12}{5}＞2$，$\therefore\odot O$ 与直线 $AB$ 相离；
　　　　　
(2)如图，设 $\odot O$ 与 $AB$ 相切，切点为 $N$，连结 $ON$，则 $ON\perp AB$，$\therefore ON// CM$，$\therefore\triangle AON\sim\triangle ACM$，$\therefore\frac{AO}{AC}=\frac{NO}{CM}$。设 $OC = x$，则 $AO = 3 - x$，$\therefore\frac{3 - x}{3}=\frac{2}{\frac{12}{5}}$，$\therefore x = 0.5$，$\therefore$ 当 $CO = 0.5$ 时，$\odot O$ 与直线 $AB$ 相切。