《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 若二次函数$y = x^{2}+mx$的对称轴是直线$x = 3$,则关于$x$的方程$x^{2}+mx = 7$的解为 ( )
A. $x_{1}=0,x_{2}=6$
B. $x_{1}=1,x_{2}=7$
C. $x_{1}=1,x_{2}=-7$
D. $x_{1}=-1,x_{2}=7$

答案： D

2. 已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 ( )

A. $y=-3(x - 1)^{2}+3$
B. $y = 3(x - 1)^{2}+3$
C. $y=-3(x + 1)^{2}+3$
D. $y = 3(x + 1)^{2}+3$

答案： A 提示：由题图可知，抛物线的顶点坐标是(1,3)，且过点(0,0)。设二次函数为$y = a(x - 1)^2 + 3$，把(0,0)代入得$0 = a + 3$，解得$a = - 3$，故二次函数的表达式为$y = - 3(x - 1)^2 + 3$。

3. 抛物线$y=-x^{2}+2x + 6$在直线$y=-2$上截得的线段长度为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案： D 提示：令$-x^2 + 2x + 6 = - 2$，解得$x = - 2$或$x = 4$，故在直线$y = - 2$上截得的线段的长为$4 - (- 2)=4 + 2 = 6$。

4. 已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$的部分图象如图所示,若$y\lt0$,则$x$的取值范围是 ( )

A. $-1\lt x\lt4$
B. $-1\lt x\lt3$
C. $x\lt-1$或$x\gt4$
D. $x\lt-1$或$x\gt3$

答案： B 提示：由图象知，抛物线与$x$轴交于点(-1,0)，对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$抛物线与$x$轴的另一交点坐标为(3,0)。$\because y ＜ 0$时，函数的图象位于$x$轴的下方，此时$-1 ＜ x ＜ 3$，$\therefore$当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＜ 0$。

5. 在平面直角坐标系$xOy$中,开口向下的抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的一部分图象如图所示,它与$x$轴交于点$A(1,0)$,与$y$轴交于点$B(0,3)$,则$a$的取值范围是 ( )

A. $a\lt0$
B. $-3\lt a\lt0$
C. $a\lt-\frac{3}{2}$
D. $-\frac{3}{2}\lt a\lt\frac{9}{2}$

答案： B 提示：根据图象得$a ＜ 0$，$b ＜ 0$。
$\because$抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$，与$y$轴交于点$B(0,3)$，$\therefore\begin{cases}a + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，
$\therefore a + b = - 3$，$\because b ＜ 0$，$\therefore - 3 ＜ a ＜ 0$。

6. 如图,铅球运动员掷铅球的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的函数关系式是$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,则该运动员此次掷铅球的成绩是 ( )

A. 6 m
B. 12 m
C. 8 m
D. 10 m

答案： D 提示：令$y = 0$，则$-\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = - 2$。又$\because x ＞ 0$，$\therefore x = 10$，即此次掷铅球的成绩是10 m。

7. 已知二次函数$y = ax^{2}-bx - 2(a\neq0)$的图象的顶点在第四象限,且过点$(-1,0)$,当$a - b$为整数时,$ab$的值为 ( )
A. $\frac{3}{4}$或1
B. $\frac{1}{4}$或1
C. $\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$

答案： A 提示：$\because$顶点在第四象限且过点(-1,0)，$\therefore a ＞ 0$，$-\frac{-b}{2a}=\frac{b}{2a}＞0$，$a + b - 2 = 0$，故$b ＞ 0$，且$b = 2 - a$，$\therefore a - b = a - (2 - a)=2a - 2$，于是$0 ＜ a ＜ 2$，$\therefore - 2 ＜ 2a - 2 ＜ 2$。
又$\because a - b$为整数，$\therefore 2a - 2 = - 1$，0，1，故$a = \frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$，
$b = \frac{3}{2}$，1，$\frac{1}{2}$，$\therefore ab = \frac{3}{4}$或1。

8. 某水产养殖企业在净化水源的同时,为谋求养殖利润最大化,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查. 调查发现这种水产品的每千克售价$y_{1}$(元)与销售月份$x$(月)满足关系式$y_{1}=-\frac{3}{8}x + 36$,而其每千克成本$y_{2}$(元)与销售月份$x$(月)满足的函数关系如图所示. “五一”之前,______月出售这种水产品每千克的利润最大 ( )
A. 四
B. 三
C. 二
D. 一

答案： A 提示：根据题意，得
$\begin{cases}\frac{1}{8}\times3^2 + 3b + c = 25\\\frac{1}{8}\times4^2 + 4b + c = 24\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{15}{8}\\c = \frac{59}{2}\end{cases}$，
所以$y_2 = \frac{1}{8}x^2 - \frac{15}{8}x + \frac{59}{2}$，
每千克利润$w = y_1 - y_2$
$=-\frac{3}{8}x + 36 - (\frac{1}{8}x^2 - \frac{15}{8}x + \frac{59}{2})$
$=-\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{13}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x - 6)^2 + 11$。
$\because a = -\frac{1}{8}＜0$，$\therefore$图象开口向下，
在对称轴$x = 6$左侧，即$x ＜ 6$时，$y$随$x$的增大而增大。
$\because$由题意$x ＜ 5$，$\therefore$在四月出售这种水产品每千克的利润最大。

9. 二次函数$y = ax^{2}+b$的顶点坐标为$(0,3)$,且经过点$(-2,-1)$,则其函数表达式为_________.

答案： $y = - x^2 + 3$ 提示：$\because$二次函数$y = ax^2 + b$的顶点坐标为(0,3)，
$\therefore$可设二次函数的表达式为$y = ax^2 + 3$，把(-2,-1)代入得，$a\times(-2)^2 + 3 = - 1$，解得$a = - 1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = - x^2 + 3$。

10. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$中,自变量$x$与函数$y$的部分对应值如表:

则一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的两个根$x_{1},x_{2}(x_{1}\lt x_{2})$是________________.

答案： $x_1 = 1 - \sqrt{2}$，$x_2 = 1 + \sqrt{2}$ 提示：由$x = 1$，$y = 2$，有$a + b + c = 2$，由$x = 2$，$y = 1$，有$4a + 2b + c = 1$，由$x = 3$，$y = - 2$，有$9a + 3b + c = - 2$，解得$\begin{cases}a = - 1\\b = 2\\c = 1\end{cases}$，$\therefore y = - x^2 + 2x + 1$。当$y = 0$时有$x^2 - 2x - 1 = 0$，$\therefore x = \frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_1 = 1 - \sqrt{2}$，$x_2 = 1 + \sqrt{2}$。