《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

20. 已知:如图,⊙O的半径为2,正方形ABCD,$A'B'C'D'$分别是⊙O的内接正方形和外切正方形.求两正方形的面积比$S_{内}:S_{外}$.

答案：
解：如图，连结OA，作OM⊥AD于点M.
∵⊙O的半径为2，
∴OA = 2，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\sqrt{2}$，
∴AB = 2OM = $2\sqrt{2}$，A'B' = 2OA = 4，
∴$S_{内}:S_{外}=AB^{2}:A'B'^{2}=(AB:A'B')^{2}=(2\sqrt{2}:4)^{2}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}$.

21. 在学习圆与正多边形时,高静同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:
(1)如图,作直径AD;
(2)作半径OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点;
(3)连结AB,AC,那么△ABC为所求的三角形.
请你判断这位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照这位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.

答案：
解：这位同学的方法正确.
证明：如图，连结BO，CO.
∵BC垂直平分OD，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴在Rt△OEB中，$\cos\angle BOE=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴∠BOE = 60°.由AD为直径，AD⊥BC，可得∠COE = 60°，
∴∠BOC = 120°，
∴∠AOB = ∠AOC = 120°，
∴∠AOB = ∠AOC = ∠BOC，
∴AB = CA = BC，
即△ABC为等边三角形.

22. 如图,已知等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,$CD = 5\sqrt{2}$ cm,求⊙O的半径R.

答案：
解：如图，连结OB，OC，OD.
∵等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}$，∠BOD=$\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}$，
∴∠COD = ∠BOC - ∠BOD = 90°.
∵OC = OD，
∴∠OCD = 45°，
∴OC = CD·$\cos45^{\circ}=5\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=5$(cm)，即⊙O的半径R为5 cm.

23. (宿迁中考)如图,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆,与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是 ( )

A. $6\sqrt{3}-\pi$
B. $6\sqrt{3}-2\pi$
C. $6\sqrt{3}+\pi$
D. $6\sqrt{3}+2\pi$

答案： A

24. (青岛中考)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在$\widehat{AB}$上,则∠CME的度数为 ( )

A. 30°
B. 36°
C. 45°
D. 60°

答案： D 提示：在题图上连结OC，OD，OE.
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD = ∠DOE = 60°，
∴∠COE = 2∠COD = 120°，
∴∠CME=$\frac{1}{2}$∠COE = 60°.

25. 如图,用等分圆周的方法在右边方框中画出左图.

答案：
解：画一个圆，把圆五等分，分别以等分点为圆心，五边形的边长为半径画圆即可得到图形，如图所示.