《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为 （ ）
A. 25 cm²
B. 50 cm²
C. 100 cm²
D. 不能确定

答案： B
提示:设一条直角边长为$x cm$，则另一条直角边长为$(20 - x)cm$，
$\therefore$面积$S=\frac{1}{2}x(20 - x)=-\frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50$。
$\because-\frac{1}{2}＜0$，$0＜x＜20$，
$\therefore$当$x = 10$时，$S_{最大}=50 cm^2$。

2. 如图，借用一道墙（墙足够长）用120 m长的篱笆围成两间大小、形状相同的矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积最大，则每间鸡舍的长与宽分别是______ m，______ m.

答案： 30 20
提示:设大矩形垂直于墙的长为$y m$，则平行于墙的长为$(120 - 3y)m$，
$\therefore$大矩形面积$S=y(120 - 3y)=-3y^2 + 120y(m^2)$。
由$y＞0$且$120 - 3y＞0$得$0＜y＜40$，
$\therefore$当$y=-\frac{120}{2\times(-3)} = 20(m)$时，两间鸡舍的总面积最大，
此时宽为$20 m$，大矩形长为$120 - 3\times20 = 60(m)$，每间鸡舍的长为$60\div2 = 30(m)$。

3.（教材P19，例5高仿）如图，用2 m长的木条，做一个有横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，这个窗子的面积应为________ m².

答案： $\frac{1}{6}$
提示:根据题意设矩形窗子横向长为$x m$，则竖向长为$\frac{2 - 3x}{2}m$，则它的面积为$S=x\cdot\frac{2 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2 + x(m^2)$。
$\because x＞0$，$\frac{2 - 3x}{2}＞0$，$\therefore0＜x＜\frac{2}{3}$，
根据二次函数最值公式得$S_{最大}=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{1}{6}(m^2)$。

4. 手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积为S（cm²），随其中一条对角线的长x（cm）的变化而变化.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围）；
（2）当x是多少厘米时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？

答案： 解:
(1)根据题意可得，若一条对角线的长为$x cm$，则另一条对角线长为$(60 - x)cm$，则$S=\frac{1}{2}x(60 - x)=-\frac{1}{2}x^2 + 30x$；
(2)由
(1)得$S=-\frac{1}{2}x^2 + 30x=-\frac{1}{2}(x - 30)^2 + 450$，
$\because-\frac{1}{2}＜0$，$0＜x＜60$，
$\therefore$当$x = 30 cm$时，菱形风筝的面积$S$最大，最大的面积是$450 cm^2$。

5. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 （ ）
A. 5元
B. 10元
C. 0元
D. 36元

答案： A
提示:设每件需降价的钱数为$x$元，每天获利$y$元，则$y=(135 - x - 100)\cdot(100 + 4x)$，即$y=-4(x - 5)^2 + 3600$。
$\because-4＜0$，$\therefore$当$x = 5$时，每天获得的利润最大。

6. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30 - x）件.若使利润最大，每件的售价应为_______元.

答案： 25
提示:设利润为$w$元，则$w=(x - 20)(30 - x)=-(x - 25)^2 + 25$。
$\because20\leqslant x\leqslant30$，$\therefore$当$x = 25$时，二次函数有最大值。

7. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元.

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

答案： 解:
(1)设$y = kx + b$，将$x = 3.5$，$y = 280$；$x = 5.5$，$y = 120$分别代入，
得$\begin{cases}3.5k + b = 280\\5.5k + b = 120\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -80\\b = 560\end{cases}$，
则$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-80x + 560$；
(2)由题意得$W=(x - 3)(-80x + 560)-80=-80x^2 + 800x - 1760=-80(x - 5)^2 + 240$。
$\because3.5\leqslant x\leqslant5.5$，
$\therefore$当$x = 5$时，$W$有最大值为$240$。
答:当销售单价定为$5$元时，每天的利润最大，最大利润是$240$元。