《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0,a,b,c$为常数)的图象如图所示，则$ax^{2}+bx + c = m$有实数根的条件是 ( )

A. $m\geqslant - 2$
B. $m\geqslant 5$
C. $m\geqslant 0$
D. $m＞4$

答案： A　提示:一元二次方程ax²+bx+c=m 有实数根,可以理解为抛物线y=ax²+bx+c和直线y=m有交点，可得m≥−2.

2. 二次函数$y = x^{2}+bx$的图象如图，对称轴为直线$x = 1$，若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx - t = 0(t$为实数)在$-1＜x＜4$的范围内有解，则$t$的取值范围是 ( )

A. $t\geqslant - 1$
B. $-1\leqslant t＜3$
C. $-1\leqslant t＜8$
D. $3＜t＜8$

答案： C　提示:由对称轴为直线x=−$\frac{b}{2×1}$= 1,解得b=−2,..二次函数表达式为y=x²−2x=(x−1)²−1.x=−1时,y=3,x=4 时,y=8,
∵x²+bx−t=0的解相当于y= x²+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当−1≤t＜8时，一元二次方程x²+bx−t=0在−1＜x＜4的范围内有解.

3. 二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象如图所示，若一元二次方程$ax^{2}+bx + m = 0$有实数根，求$m$的最大值.

答案： 解:一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根,相当于抛物线y=ax²+bx与直线y=−m有交点.由图象可知,只需−m≥−3,即m≤3,..m的最大值为3.

4. 如图所示的是二次函数$y=-x^{2}+2x + 4$的图象，使$y\leqslant1$成立的$x$的取值范围是 ( )

A. $-1\leqslant x\leqslant3$
B. $x\leqslant - 1$
C. $x\geqslant 1$
D. $x\leqslant - 1$或$x\geqslant 3$

答案： D　提示:由题图可知,x≤−1或x≥3 时,y≤1.

5. 如图所示的是二次函数$y = x^{2}-4x + 3$的图象.根据图象填空：①不等式$x^{2}-4x + 3＞0$的解集为 ；②当$0＜x\leqslant3$时，$y$的取值范围 ；③若当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的范围是 ；④若方程$x^{2}-4x + 3 - m = 0$有实数根，则$m$的范围是 .

答案： x＞3或x＜1　−1≤y＜3　m≤2m≥−11 提示:①由图象可得x²−4x+3＞0的解集为x＞3或x＜1;20＜x≤3时,−1≤ y＜3;③..抛物线的对称轴为直线x= 2,在对称轴的左侧,即x≤2时,y随x的增大而减小,..m≤2;④方程x2−4x+3−m=0可以看作y=x²−4x+3与y= m的图象有交点，从图象可知,m≥−1.

6. 阅读材料，解答问题.
利用图象法解一元二次不等式：$x^{2}-2x - 3＞0$.
解：设$y = x^{2}-2x - 3$，则$y$是$x$的二次函数.
$\because a = 1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上.
又$\because$当$y = 0$时，$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.
$\therefore$由此得抛物线$y = x^{2}-2x - 3$的大致图象如图所示.
观察函数图象可知：当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$.
$\therefore x^{2}-2x - 3＞0$的解集是$x＜-1$或$x＞3$.
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：$x^{2}-2x - 3＜0$的解集是 ；
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：$x^{2}-1＞0$.

答案：
解:
(1)−1＜x＜3
(2)设y=x²−1,则y是x的二次函数...a=1＞0,
∴抛物线开口向上.
　又
∵当y=0时,x²−1=0,解得x=−1,x2=
　1,
∴由此得抛物线y=x²−1的大致图象如图所示.观察函数图象可知，当x＜−1或x＞1时,y＞0.
　..x²−1＞0的解集是x＜−1或x＞1.