《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

9. 抛物线$y=-\sqrt{3}x^{2}$的顶点坐标是 ( )
A. $(0,-\sqrt{3})$
B. $(0,\sqrt{3})$
C. $(0,0)$
D. $(1,-\sqrt{3})$

答案： C

10. 函数$y=\frac{a}{x}$与$y = ax^{2}(a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )

答案： D

11. 下列函数中，当$x＞0$时，$y$的值随$x$的值的增大而增大的是 ( )
A. $y = - x^{2}$
B. $y = x - 1$
C. $y = - x + 1$
D. $y=\frac{1}{x}$

答案：  B 提示：A.$y = -x^{2}$，当$x>0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，所以A选项错误；B.$y = x - 1$，$x>0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大，所以B选项正确；C.$y = -x + 1$，当$x>0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，所以C选项错误；D.$y = \frac{1}{x}$，当$x>0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，所以D选项错误. 

12. 已知抛物线①$y_{1}=-3x^{2}$，②$y_{2}=-\frac{1}{3}x^{2}$，③$y_{3}=\frac{3}{2}x^{2}$，它们的开口由小到大的顺序是 ( )
A. ①②③
B. ③②①
C. ①③②
D. ②③①

答案： C 提示：
∵$|-3|>\left|\frac{3}{2}\right|>\left|-\frac{1}{3}\right|$，又
∵二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴开口由小到大依次是①③②. 

13. 抛物线$y = 2x^{2}$，$y = - 2x^{2}$，$y=\frac{1}{2}x^{2}$共有的性质是 ( )
A. 开口向下
B. 对称轴是$y$轴
C. 都有最高点
D. $y$随$x$的增大而增大

答案： B 提示：
(1)$y = 2x^{2}$开口向上，对称轴为$y$轴，有最低点，顶点为原点；
(2)$y = -2x^{2}$开口向下，对称轴为$y$轴，有最高点，顶点为原点；
(3)$y = \frac{1}{2}x^{2}$开口向上，对称轴为$y$轴，有最低点，顶点为原点. 

14. 如图，$Rt\triangle AOB$中，$AB\perp OB$，且$AB = OB = 3$，设直线$x = t$截此三角形所得阴影部分的面积为$S$，则$S$与$t$之间的函数关系的图象为下列选项中的 ( )

答案： D 提示：
∵$Rt\triangle AOB$中，$AB\perp OB$，且$AB = OB = 3$，
∴$\angle AOB = \angle A = 45^{\circ}$.
∵$CD\perp OB$，
∴$CD\parallel AB$，
∴$\angle OCD = \angle A$，
∴$\angle AOD = \angle OCD = 45^{\circ}$，
∴$OD = CD = t$，
∴$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}\times OD\times CD=\frac{1}{2}t^{2}(0\leq t\leq 3)$，即$S = \frac{1}{2}t^{2}(0\leq t\leq 3)$.故$S$与$t$之间的函数关系的图象应为取值范围为$0\leq x\leq 3$，开口向上的二次函数图像。

15. 如果抛物线$y=(m - 1)x^{2}$的开口向上，那么$m$的取值范围是 ______。

答案： $m ＞ 1$

16. 结合如图所示的函数图象，探究：抛物线$y = ax^{2}$有最低点，即当$x =$____ 时，函数值最 ____，为 ______；抛物线$y=-ax^{2}$有最高点，即当$x =$______ 时，函数值最 ______，为 ______。

答案： $0$ 小 $0$ $0$ 大 $0$

17. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象如图所示，线段$AB// x$轴，交抛物线于$A$，$B$两点，且点$A$的横坐标为2，则$AB$的长度为 ____________。

答案： $4$

18. 对于二次函数$y = ax^{2}$，已知当$x$由1增加到2时，函数值减少4，则常数$a$的值是 ______。

答案： $-\frac{4}{3}$ 提示：当 $x = 1$ 时，$y = ax^{2}=a$；当 $x = 2$ 时，$y = ax^{2}=4a$，所以 $a - 4a = 4$，解得 $a = -\frac{4}{3}$.

19. 把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
(1)$y = 3x^{2}$的图象是 ____；
(2)$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图象是 ____；
(3)$y = - x^{2}$的图象是 ____；
(4)$y=-\frac{3}{4}x^{2}$的图象是 ____。

答案：
(1)③
(2)①
(3)④
(4)②
提示：根据二次函数 $y = ax^{2}(a\neq0)$ 中，$\vert a\vert$ 越大，开口越小判断.$y = 3x^{2}$，$y=\frac{1}{3}x^{2}$ 的二次项系数都大于 $0$，开口都应向上，但 $\vert3\vert＞\vert\frac{1}{3}\vert$，那么 $y = 3x^{2}$ 的图象应对应③，$y=\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象应对应①；
$y = -x^{2}$，$y = -\frac{3}{4}x^{2}$ 的二次项系数都小于 $0$，那么开口都应向下，但因为 $\vert - 1\vert＞\vert-\frac{3}{4}\vert$，所以 $y = -x^{2}$ 的图象应对应④，$y = -\frac{3}{4}x^{2}$ 的图象应对应②.

20. 在同一直角坐标系内画出函数$y=\frac{3}{2}x^{2}$和$y=-\frac{3}{2}x^{2}$的图象。

答案：
解：列表：

描点，连线如图所示.

21. 若二次函数$y = mx^{m^{2}-1}$的图象在对称轴左侧呈上升趋势，求$m$的值.

答案： 解：根据 $y = mx^{m^{2}-1}$ 是二次函数，则 $m^{2}-1 = 2$，解得 $m=\pm\sqrt{3}$，又由其图象在对称轴的左侧呈上升趋势，可知 $m ＜ 0$，所以 $m = -\sqrt{3}$.