《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

25. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx(a\neq 0)$，当$x = - 1$时，$y = - 5$，当$x = 1$时，$y = 9$，求当$x = 2$时，二次函数$y = ax^{2}+bx$的值.

答案： 解：把$x=-1$，$y=-5$；$x = 1$，$y = 9$，分别代入$y=ax^{2}+bx$，得$\begin{cases}a - b=-5\\a + b=9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 7\end{cases}$，则该二次函数的关系式为$y=2x^{2}+7x$.把$x = 2$代入函数关系式得$y=22$.

26. 电焊工把8 m长的钢筋焊成了一个如图所示的框架，其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积$y$(m²)与半圆的半径$x$(m)之间的函数关系式.

答案： 解：半圆面积为$\frac{1}{2}\pi x^{2}$，长方形面积为$2x\times\frac{1}{2}(8 - 2x-\pi x)=8x-(2 + \pi)x^{2}$.
故$y=\frac{1}{2}\pi x^{2}+8x-(2 + \pi)x^{2}$，即函数关系式为$y=-(\frac{1}{2}\pi + 2)x^{2}+8x$.

27. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量$m$(件)与每件的销售价$x$(元)满足一次函数关系$m = 162 - 3x$，其中销售价不能低于进价.请写出商场卖这种商品每天的销售利润$y$(元)与每件销售价$x$(元)之间的函数关系式.

答案： 解：由题意得每件商品的销售利润为$(x - 30)$元，那么$m$件的销售利润为$y=m(x - 30)$.又$\because m = 162-3x$，$\therefore y=(x - 30)(162-3x)$，即$y=-3x^{2}+252x - 4860$.$\because x - 30\geqslant0$，$\therefore x\geqslant30$.又$\because m\geqslant0$，$\therefore162-3x\geqslant0$，即$x\leqslant54$.$\therefore30\leqslant x\leqslant54$.又$\because$件数为自然数，$\therefore$所求关系式为$y=-3x^{2}+252x - 4860$（$30\leqslant x\leqslant54$且$x$为整数）.

28. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$ cm，$BC = 12$ cm，点$P$在线段$AB$上，$P$从点$A$开始沿$AB$边以1 cm/s的速度向点$B$移动.点$E$为线段$BC$的中点，点$Q$从点$E$开始，沿$EC$以1 cm/s的速度向点$C$移动.如果$P$，$Q$同时分别从$A$，$E$两点出发，写出发时间$t$与$\triangle BPQ$的面积$S$的函数关系式，并指出$t$的取值范围.

答案： 解：$\because PB=6 - t$，$BQ=BE + EQ=6 + t$，$\therefore S=\frac{1}{2}PB\cdot BQ=\frac{1}{2}(6 - t)(6 + t)=-\frac{1}{2}t^{2}+18$，当点$P$，$Q$分别到达点$B$，$C$时，不再有$\triangle BPQ$存在，此时$t = 6$，$\therefore S=-\frac{1}{2}t^{2}+18(0\leqslant t＜6)$.

29. （兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. $y = 3x - 1$
B. $y = ax^{2}+bx + c$
C. $s = 2t^{2}-2t + 1$
D. $y=\frac{x^{2}+1}{x}$

答案： C

30. （安徽中考）某厂今年一月新产品的研发资金为$a$元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是$x$，则该厂今年三月新产品的研发资金$y$(元)关于$x$的函数关系式为$y =$________.

答案： $a(1 + x)^{2}$

31. （台州中考）如果函数$y=(m + 1)x^{m^{2}-m}+2$是二次函数，那么$m =$_______.

答案： 2 提示：$\because$函数$y=(m + 1)x^{m^{2}-m}+2$是二次函数，$\therefore m^{2}-m=2$，即$(m - 2)(m + 1)=0$，解得$m_{1}=2$，$m_{2}=-1$.$\because m + 1\neq0$，$\therefore m\neq-1$，故$m = 2$.

32. （常德中考）如图，正方形$EFGH$的顶点在边长为2的正方形$ABCD$的边上.若设$AE = x$，正方形$EFGH$的面积为$y$，则$y$与$x$的函数关系为________________.

答案：
$y=2x^{2}-4x + 4$ 提示：如图.$\because$四边形$ABCD$是边长为 2 的正方形，$\therefore\angle A=\angle B = 90^{\circ}$.$AB = 2$.$\therefore\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，$\because$四边形$EFGH$为正方形，$\therefore\angle HEF = 90^{\circ}$，$EH = EF$.$\therefore\angle1+\angle3 = 90^{\circ}$，$\therefore\angle2=\angle3$.在$\triangle AHE$与$\triangle BEF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle B\\\angle2=\angle3\\EH = FE\end{cases}$，$\therefore\triangle AHE\cong\triangle BEF$，$\therefore AE=BF=x$，$AH=BE=2 - x$.在$Rt\triangle AHE$中，由勾股定理，得$EH^{2}=AE^{2}+AH^{2}=x^{2}+(2 - x)^{2}=2x^{2}-4x + 4$，即$y=2x^{2}-4x + 4(0＜x＜2)$.

33. 如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园$ABCD$，设$AB$边长为$x$ m，则菜园的面积$y$(单位：m²)与$x$(单位：m)的函数关系式为____________.

答案： $y=-\frac{1}{2}x^{2}+15x$