《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

9. 如图，AB是半圆O的直径，D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，∠B = 40°，则∠C的度数为 （ ）

A. 80°
B. 100°
C. 110°
D. 140°

答案： C 提示：
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠ADC = 180° - ∠B = 140°.在题图上连结 AC，
∵AB 为直径，
∴∠ACB = 90°.
∵D 为$\widehat{AC}$中点，AD = DC，
∴∠DAC = ∠DCA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ADC) = 20°，
∴∠BCD = 90° + 20° = 110°.

10. 如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，且$\overset{\frown}{AE}$的度数为50°，则∠CBE + ∠ADC等于 （ ）

A. 130°
B. 135°
C. 145°
D. 155°

答案：
D 提示：如图，连结 AB，DE，
　则∠ABE = ∠ADE.
∵$\widehat{AE}$的度数为 50°，
∴∠ABE = ∠ADE = 25°.
∵点 A，B，C，D 在⊙O 上，
∴四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴∠ABE + ∠EBC + ∠ADC = 180°，
∴∠CBE + ∠ADC = 180° - ∠ABE = 180° - 25° = 155°.
　　　　　

11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC = 130°，则∠AOC的度数是 ______°.

答案： 100 提示：
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠ADC = 180° - ∠ABC = 50°，
∴∠AOC = 2∠ADC = 100°.

12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC//AD，∠DAB = 60°，∠ADC = 106°，则∠OCB = ______.

答案： 46° 提示：
∵OC//AD，
∴∠OCD = 180° - ∠ADC = 74°.
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠BCD = 180° - ∠DAB = 120°，
∴∠OCB = ∠BCD - ∠OCD = 46°.

13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE. 求证：DB = DC.

答案： 证明：
∵∠DAC 与∠DBC 是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC = ∠DBC.
∵AD 平分∠CAE，
∴∠EAD = ∠DAC，
∴∠EAD = ∠DBC.
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠EAD = ∠BCD，
∴∠DBC = ∠DCB，
∴DB = DC.

14. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD = 120°，CA平分∠BCD.
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD = 3，求⊙O的半径.

答案：
解：
(1)证明：
∵∠BCD = 120°，CA 平分∠BCD，
∴∠ACD = ∠ACB = 60°.由圆周角定理得，∠ADB = ∠ACB = 60°，∠ABD = ∠ACD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形；
(2)由
(1)知，∠BAD = 60°.如图，连结 OB，OD，作 OH⊥BD 于点 H，则 DH = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{3}{2}$，∠BOD = 2∠BAD = 120°，
∴∠DOH = $\frac{1}{2}$∠BOD = 60°.
　在 Rt△ODH 中，OD = $\frac{DH}{\sin\angle DOH}$ = $\sqrt{3}$，
∴⊙O 的半径为 $\sqrt{3}$.
　　　　　　

15. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，交BC于点E，连结ED，若ED = EC.
（1）求证：AB = AC；
（2）若AB = 4，BC = 2$\sqrt{3}$，求CD的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵ED = EC，
∴∠EDC = ∠C.
∵四边形 ABED 内接于⊙O，
∴∠B + ∠ADE = 180°.
　又
∵∠ADE + ∠EDC = 180°，
∴∠EDC = ∠B，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC；
(2)在题图上连结 BD.
∵AB 为直径，
∴BD⊥AC，设 CD = a，
　由
(1)知 AC = AB = 4，则 AD = 4 - a.
　在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得 BD² = AB² - AD² = 4² - (4 - a)².
　在 Rt△CBD 中，由勾股定理可得 BD² = BC² - CD² = (2$\sqrt{3}$)² - a²，
∴4² - (4 - a)² = (2$\sqrt{3}$)² - a²，
　解得 a = $\frac{3}{2}$，即 CD 的长为 $\frac{3}{2}$.

16.（株洲中考）如图，等边三角形ABC的顶点A在⊙O上，边AB，AC与⊙O分别交于点D，E，点F是劣弧DE上一点，且与D，E不重合，连结DF，EF，则∠DFE的度数为 （ ）

A. 115°
B. 118°
C. 120°
D. 125°

答案： C

17.（镇江中考）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$.若∠C = 110°，则∠ABC的度数等于 （ ）

A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°

答案：
A 提示：如图，连结 AC.
∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，
∴∠DAB = 180° - ∠BCD = 70°.
∵$\widehat{DC}=\widehat{CB}$，
∴∠CAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = 35°.
∵AB 是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ABC = 90° - ∠CAB = 55°.
　　　　

18. 时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点.以这些等分点为顶点的矩形共有 （ ）
A. 6个
B. 12个
C. 15个
D. 18个

答案： C 提示：12 个等分点中，相对的两个点连起来即为圆的直径，有 6 条.根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，则只需让其中的任意两条直径作为矩形的对角线即可，故可以画出 15 个矩形.