《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 如图，抛物线$y = x^{2}+2x - 1$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$D$在抛物线上，且$CD// AB$，则线段$CD$的长为（ ）

A. 2
B. 3
C. 4
D. $\sqrt{17}$

答案： A

2. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点，若点$A$的坐标为$(-2,0)$，抛物线的对称轴为直线$x = 2$，则线段$AB$的长为________.

答案： 8　提示：
∵对称轴为直线x = 2的抛物线y = ax² + bx + c(a ≠ 0)与x轴相交于A，B两点，
∴A，B两点关于直线x = 2对称，又点A的坐标为(-2,0)，
∴点B的坐标为(6,0)，
∴AB = 6 - (-2)=8.

3. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴相交于点$A$，$B(m + 2,0)$，与$y$轴相交于点$C$，点$D$在该抛物线上，坐标为$(m,c)$，则点$A$的坐标是________.

答案： (-2,0)　提示：由C(0,c)，D(m,c)，得抛物线的对称轴是直线x = $\frac{m}{2}$.设点A坐标为(x,0)，由A，B两点关于直线x = $\frac{m}{2}$对称，得$\frac{m}{2}-x=m + 2-\frac{m}{2}$，解得x = -2，即点A坐标为(-2,0).

4. 抛物线$y = ax^{2}+2ax + c$与$x$轴交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$右边），且$AB = 4$，求点$A$，$B$的坐标.

答案： 解：
∵抛物线y = ax² + 2ax + c，
∴抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{2a}{2a}$= -1.
∵点A在点B右边，且AB = 4，
∴A(1,0)，B(-3,0).

5. 如图，抛物线$y=-x^{2}+2(m + 1)x + m + 3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，且$OA:OB = 1:3$，求$m$的值.

答案： 解：设点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(b,0)，又OA:OB = 1:3，
∴b = -3a.
∵a + b = -$\frac{2(m + 1)}{-1}$=2(m + 1)，
ab = $\frac{m + 3}{-1}$=-(m + 3)，
将b = -3a代入以上两式，
得$\begin{cases}-2a = 2(m + 1)\\-3a²=-(m + 3)\end{cases}$，整理得$\begin{cases}a=-m - 1\\3a²=m + 3\end{cases}$，
∴3(-m - 1)²=m + 3，即3m² + 5m = 0，
∴m = 0或-$\frac{5}{3}$.
∵对称轴在y轴左侧，
∴-$\frac{2(m + 1)}{2×(-1)}$＜0，解得m＜-1，
∴m = 0不符合题意，舍去，
∴m = -$\frac{5}{3}$.

6. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = x^{2}-4x + k$（$k$是常数）与$x$轴相交于$A$，$B$两点（点$B$在点$A$的右边），与$y$轴相交于点$C$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$\triangle OBC$是等腰直角三角形，求$k$的值.

答案： 解：
(1)依题意，得b² - 4ac = (-4)² - 4k＞0，解得k＜4，所以k的取值范围是k＜4；
(2)
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴k≠0，∠BOC = 90°，
∴OB = OC.
∵C(0,k)，
∴B(|k|,0)，
∴|k|² - 4|k|+k = 0，
∴k＞0时，k² - 3k = 0，解得k = 3；k＜0时，
k² + 5k = 0，解得k = -5.
综上，k的值为3或-5.

7. 已知直线$y = 2x + 3$与抛物线$y = x^{2}$交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$左边），求$AB$的长.

答案： 解：联立$\begin{cases}y = 2x + 3\\y = x²\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-1\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3\\y = 9\end{cases}$，
∴A(-1,1)，B(3,9)，
∴AB = $\sqrt{[3-(-1)]²+(9 - 1)²}$=4$\sqrt{5}$.

8. 已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$和直线$y = ax + 1$.求证：不论$a$取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点.

答案： 证明：联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x²\\y = ax + 1\end{cases}$，
消掉y，得$\frac{1}{4}x²-ax - 1 = 0$.
∵Δ = (-a)² - 4×$\frac{1}{4}$×(-1)=a² + 1＞0，
∴不论a取何值，方程一定有两个不相等的实数根，
∴不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点.