《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 下列命题正确的是 ( )
A. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等
B. 经过三点一定可以作圆
C. 任意一个三角形有且只有一个外接圆
D. 任意一个圆有且只有一个内接三角形

答案： C

2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以点C为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是 ( )

A. 点O在⊙C外
B. 点O在⊙C上
C. 点O在⊙C内
D. 不能确定

答案： B 提示：
∵在△ABC中，∠C = 90°，AB = 4，O为AB中点，
∴OC = 2.
∵以点C为圆心，2为半径作⊙C，
∴OC = 半径，
∴点O在⊙C上.

3. 已知等腰三角形的腰长为6，底边长为4，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心，5为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是 ( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 不能确定

答案：
A 提示：如图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于点D，则BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 2.在Rt△ABD中，AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}-2^{2}}$ = $4\sqrt{2}$ ＞ 5，即d ＞ r，
∴该圆与底边的位置关系是相离.

4. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连结BC.若∠P=40°，则∠ABC的度数为 ( )

A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°

答案： B

5. 如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是 ( )

A. △ACD的外心
B. △ABC的外心
C. △ACD的内心
D. △ABC的内心

答案： B

6. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为 ( )

A. 20 cm
B. 15 cm
C. 10 cm
D. 随直线MN的变化而变化

答案：
A 提示：
∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD = 10 cm，如图，设E，F分别是⊙O的切点，则DM = MF，FN = EN，AD = AE，
∴AM + AN + MN = AM + AN + MF + FN = AM + AN + DM + EN = AD + AE = 10 + 10 = 20(cm).

7. 如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连结PD，BD，已知PC=PD=BC.给出下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO=AB；④∠PDB=120°.其中，正确的有 ( )

A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案：
A 提示：①如图，连结CO，DO.
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO = 90°.在△PCO和△PDO中，$\begin{cases}CO = DO\\PO = PO\\PC = PD\end{cases}$，
∴△PCO≌△PDO，
∴∠PCO = ∠PDO = 90°.又
∵OD是⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切，故①正确.②由①得，∠CPB = ∠DPB.在△CPB和△DPB中，$\begin{cases}PC = PD\\∠CPB = ∠DPB\\PB = PB\end{cases}$，
∴△CPB≌△DPB，
∴BC = BD，
∴PC = PD = BC = BD，
∴四边形PCBD是菱形，故②正确.③如图，连结AC.
∵PC = CB，
∴∠CPB = ∠CBP.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.在△PCO和△BCA中，$\begin{cases}∠CPO = ∠CBA\\PC = BC\\∠PCO = ∠BCA\end{cases}$，
∴△PCO≌△BCA，
∴PO = BA，故③正确.④由③知△PCO≌△BCA，
∴CO = CA，
∴CO = CA = OA，
∴∠COP = 60°，
∴∠CPO = 30°.
∵四边形PCBD是菱形，
∴PC//BD，∠CPD = 2∠CPO = 60°，
∴∠PDB = 180° - ∠CPD = 120°，故④正确.综上，正确的有4个.

8. 如图，⊙O的半径为1，OA=2.5，∠OAB=30°，则AB与⊙O的位置关系是 _________.

答案：
相离 提示：如图，作OH⊥AB于点H.在Rt△AOH中，
∵∠OAH = 30°，OA = 2.5，
∴OH = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{5}{4}$ ＞ 1，
∴⊙O与AB相离.

9. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE= ______.

答案：
60° 提示：如图，连结OA.
∵四边形ABOC是菱形，
∴BA = BO.
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵点D是AB的中点，
∴直线OD是线段AB的垂直平分线，
∴OA = OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°.同理，∠AOE = 30°，
∴∠DOE = ∠AOD + ∠AOE = 60°.

10. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 _________.

答案： 14