《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

14. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB = 20 m，最高处点C距地面5 m(即OC = 5 m).
(1)分别以AB，OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
(2)夜晚，公园沿着抛物线ACB用彩灯勾勒拱桥的形状.现公园管理处打算在观景拱桥ACB的横截面前放置一个长为10 m的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌离拱桥的桥面至少0.35 m，求矩形广告牌的最大高度，并说明理由.

答案： 解：
(1)根据题意，设抛物线表达式为$y = ax^{2}+c$，将点$C(0,5)$，点$B(10,0)$的坐标代入，
得$\begin{cases}100a + c=0\\c = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{20}\\c = 5\end{cases}$，
故抛物线表达式为$y = -\frac{1}{20}x^{2}+5$；
(2)当$x = 5$时，$y = -\frac{1}{20}\times25 + 5=3.75(m)$，
$3.75 - 0.35=3.4(m)$。
答：矩形广告牌的最大高度为$3.4m$。

15. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两条抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6 dm，锅深3 dm，锅盖高1 dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为$C_{1}$，把锅盖纵断面的抛物线记为$C_{2}$.
(1)求$C_{1}$和$C_{2}$的函数表达式；
(2)如果炒菜锅里的水位高度是1 dm，求此时水面的直径；
(3)如果将一个底面直径为3 dm，高度为3 dm的圆柱形容器放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.

答案： 解：
(1)由于抛物线$C_{1}$，$C_{2}$都过点$A(-3,0)$，$B(3,0)$，可设它们的表达式为$y = a(x - 3)(x + 3)$。
抛物线$C_{1}$经过$D(0,-3)$，则有$-3 = a\cdot(0 - 3)(0 + 3)$，解得$a=\frac{1}{3}$，即抛物线$C_{1}:y=\frac{1}{3}x^{2}-3(-3\leq x\leq3)$；
抛物线$C_{2}$经过$C(0,1)$，则有$1 = a(0 - 3)(0 + 3)$，解得$a = -\frac{1}{9}$，
即抛物线$C_{2}:y = -\frac{1}{9}x^{2}+1(-3\leq x\leq3)$；
(2)当炒菜锅里的水位高度为$1dm$时，$y = - 2$，即$\frac{1}{3}x^{2}-3=-2$，解得$x = \pm\sqrt{3}$，
$\therefore$此时水面的直径为$2\sqrt{3}dm$；
(3)锅盖能正常盖上。理由如下：
当$x=\frac{3}{2}$时，抛物线$C_{1}:y=\frac{1}{3}\times(\frac{3}{2})^{2}-3=-\frac{9}{4}$，抛物线$C_{2}:y = -\frac{1}{9}\times(\frac{3}{2})^{2}+1=\frac{3}{4}$，而$\frac{3}{4}-(-\frac{9}{4})=3(dm)$，$\therefore$锅盖能正常盖上。

16. (广安中考)如图所示是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降_____ m，水面宽8 m.

答案：
$\frac{14}{9}$
提示：如图，以水面所在的直线$AB$为$x$轴，以过拱顶$C$且垂直于$AB$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，$O$为原点，由题意，得$AO = OB=3m$，$C$坐标为$(0,2)$，通过以上条件可设顶点式$y = ax^{2}+2$，把点$A$坐标$(-3,0)$代入抛物线解析式，得$9a + 2=0$，解得$a = -\frac{2}{9}$，所以抛物线解析式为$y = -\frac{2}{9}x^{2}+2$，当$x = 4$时，$y = -\frac{2}{9}\times16 + 2=-\frac{14}{9}$，$\therefore$水面下降$\frac{14}{9}m$。

17. (陕西中考)现要修建一条隧道，其截面为抛物线，如图，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE = 10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯.已知点A，B到OE的距离均为6 m，求点A，B的坐标.

答案： 解：
(1)由题意得抛物线的顶点$P(5,9)$，$\therefore$可以设抛物线的解析式为$y = a(x - 5)^{2}+9$。把$(0,0)$代入，可得$a = -\frac{9}{25}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = -\frac{9}{25}(x - 5)^{2}+9$；
(2)令$y = 6$，得$-\frac{9}{25}(x - 5)^{2}+9=6$，解得$x_{1}=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=5-\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore A(5-\frac{5\sqrt{3}}{3},6)$，$B(5+\frac{5\sqrt{3}}{3},6)$。