《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

11. 如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，$\overset{\frown}{AC}$的长是 （ ）

A. 12π
B. 6π
C. 5π
D. 4π

答案： D　提示:在题图上连结$OC$。
∵$\angle CAB = 30^{\circ}$，
∴$\angle BOC = 2\angle CAB = 60^{\circ}$，
∴$\angle AOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
又
∵直径$AB = 12$，
∴半径$OA = 6$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的长是$\frac{120\times\pi\times6}{180}=4\pi$。

12. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 （ ）

A. 175π cm²
B. 350π cm²
C. $\frac{800}{3}\pi$ cm²
D. 150π cm²

答案： B　提示:
∵$AB = 25\text{ cm}$，$BD = 15\text{ cm}$，
∴$AD = 25 - 15 = 10(\text{cm})$，
∴$S_{贴纸}=2\times(\frac{120\cdot\pi\times25^{2}}{360}-\frac{120\cdot\pi\times10^{2}}{360})=2\times175\pi = 350\pi(\text{cm}^{2})$。

13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为 （ ）

A. 2π
B. π
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{2\pi}{3}$

答案： D　提示:
∵$\angle CDB = 30^{\circ}$。
∴$\angle COB = 2\angle CDB = 60^{\circ}$。
又
∵弦$CD\perp AB$，$CD = 2\sqrt{3}$，
∴$CE = \sqrt{3}$，$OC = \frac{CE}{\sin60^{\circ}} = 2$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形 COB}=\frac{60\times\pi\times2^{2}}{360}=\frac{2\pi}{3}$。

14. 如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 （ ）

A. π
B. 2π
C. $\frac{\pi}{2}$
D. 4π

答案： B　提示:
∵$S_{阴影}=S_{扇形 ABA'}+S_{半圆}-S_{半圆}=S_{扇形 ABA'}=\frac{45\times\pi\times4^{2}}{360}=2\pi$。

15. 如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 （ ）

A. 4 - π
B. 4 - 2π
C. 8 + π
D. 8 - 2π

答案： A　提示:在题图上连结$AD$。
∵$\odot A$与$BC$相切于点$D$，圆半径为$2$，
∴$AD = 2$，$AD\perp BC$。又
∵$\angle EPF = 45^{\circ}$，
∴$\angle EAF = 2\angle EPF = 90^{\circ}$。
又
∵$BC = 4$，
∴$S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形 AEF}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD-\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{1}{2}\times4\times2-\frac{90\cdot\pi\cdot2^{2}}{360}=4 - \pi$。

16. 如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD和扇形A₁D₁C₁，使A₁D₁=AD，D₁C₁=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是 （ ）

A. P＜Q
B. P=Q
C. P＞Q
D. 无法确定

答案： B　提示:
∵扇形周长与正方形周长相等且$A_{1}D_{1}=AD$，$D_{1}C_{1}=DC$，
∴$\overset{\frown}{A_{1}C_{1}}=AB + BC = 2AB$，正方形面积$P = AB^{2}$，扇形面积$Q = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}\times2AB\cdot AB = AB^{2}$，
∴$P = Q$。

17. 在半径为3 cm的圆中，240°的圆心角所对的弧长为______ cm。

答案： $4\pi$

18. 如图，在小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABO的顶点都在小正方形的顶点上，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O，则点A运动的路径长为________。

答案： $\sqrt{5}\pi$　提示:根据题意知，点$A$运动的路径是$90^{\circ}$圆心角所对的$\overset{\frown}{AA_{1}}$的长，已知半径$OA = \sqrt{OB^{2}+AB^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
则$l_{\overset{\frown}{AA_{1}}}=\frac{90\pi\times2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}\pi$。

19. 如图，正六边形ABCDEF的边长为3，分别以A，D为圆心，3为半径画弧，则图中阴影部分的弧长为_______。

答案： $4\pi$　提示:阴影为两个圆心角为$120^{\circ}$的扇形，
∴阴影部分的弧长为$\frac{240\cdot\pi\times3}{180}=4\pi$。

20. 如图，将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形，则S扇形=______ cm²。

答案： $4$　提示:由题意知，弧长$=8 - 2\times2 = 4(\text{cm})$，故扇形的面积是$\frac{1}{2}\times4\times2 = 4(\text{cm}^{2})$。

21. 如图，有一直径是$\sqrt{2}$ m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则AB的长为________ m。

答案： $1$　提示:在题图上连结$BC$。
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$BC$为$\odot O$的直径，即$BC = \sqrt{2}$，
∴$AB = \frac{\sqrt{2}}{2}BC = 1$。