《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

5. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1 m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6 m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4 m高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取$4\sqrt{3}\approx7$）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取$2\sqrt{6}\approx5$）

答案：
解：
(1)根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为$y = a(x - 6)^{2} + 4$，将点$(0,1)$代入，得$36a + 4 = 1$，解得$a = - \frac{1}{12}$，$\therefore$足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为$y = - \frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 4$；
(2)令$y = 0$，得$- \frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 4 = 0$，解得$x_{1} = 4\sqrt{3} + 6 \approx 13$，$x_{2} = - 4\sqrt{3} + 6 \approx - 1 ＜ 0$(舍去)，$\therefore$足球第一次落地点$C$距守门员约$13$m；
(3)如图，足球第二次弹出后的距离为$CD$，

根据题意知$CD = EF$(即相当于将抛物线$AEMFC$向下平移了$2$个单位长度)，$\therefore$令$- \frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 4 - 2 = 0$，解得$x_{1} = 6 - 2\sqrt{6}$，$x_{2} = 6 + 2\sqrt{6}$，$\therefore CD = EF = x_{2} - x_{1} = 4\sqrt{6} \approx 10$(m)，$\therefore BD = 13 - 6 + 10 = 17$(m)，$\therefore$运动员乙要抢到足球第二个落点$D$，他应再向前跑$17$m。

6. 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
$y=\begin{cases}32x(0\leqslant x\leqslant5),\\20x + 60(5＜x\leqslant19).\end{cases}$
（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元.(利润=出厂价-成本)

答案： 解：
(1)设李红第$x$天生产的粽子数量为$260$只，$\because 32×5 = 160 ＜ 260$，$\therefore 5 ＜ x \leq 19$。根据题意得$20x + 60 = 260$，解得$x = 10$，即李红第$10$天生产的粽子数量为$260$只；
(2)根据图象得当$0 \leq x \leq 9$时，$p = 2$；当$9 ＜ x \leq 19$时，设函数表达式为$p = kx + b$，把$(9,2)$，$(19,3)$代入得$\begin{cases}9k + b = 2 \\ 19k + b = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{10} \\ b = \frac{11}{10} \end{cases}$，$\therefore p = \frac{1}{10}x + \frac{11}{10}$。
①当$0 \leq x \leq 5$时，$w = (4 - 2)×32x = 64x$，当$x = 5$时，$w_{最大}= 320$；
②当$5 ＜ x \leq 9$时，$w = (4 - 2)×(20x + 60)= 40x + 120$，当$x = 9$时，$w_{最大}= 480$；
③当$9 ＜ x \leq 19$时，$w = [4 - (\frac{1}{10}x + \frac{11}{10})]×(20x + 60)= - 2x^{2} + 52x + 174 = - 2(x - 13)^{2} + 512$，当$x = 13$时，$w_{最大}= 512$。
综上所述，第$13$天的利润最大，最大利润是$512$元。

7. 网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元.公司在试销售期间调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中10＜x≤30).
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3 100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

答案： 解：
(1)由图象知，当$10 ＜ x \leq 14$时，$y = 640$；当$14 ＜ x \leq 30$时，设$y = kx + b$，将$(14,640)$，$(30,320)$代入得$\begin{cases}14k + b = 640 \\ 30k + b = 320 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 20 \\ b = 920 \end{cases}$，$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y = - 20x + 920$。
综上所述，$y = \begin{cases}640(10 ＜ x \leq 14) \\ - 20x + 920(14 ＜ x \leq 30) \end{cases}$；
(2)$(14 - 10)×640 = 2560$，$\because 2560 ＜ 3100$，$\therefore x ＞ 14$，$\therefore (x - 10)( - 20x + 920)= 3100$，解得$x_{1} = 41$(不合题意舍去)，$x_{2} = 15$。
答：销售单价$x$应定为$15$元；
(3)当$14 ＜ x \leq 30$时，$W = (x - 10)( - 20x + 920)= - 20(x - 28)^{2} + 6480$，$\because - 20 ＜ 0$，$14 ＜ x \leq 30$，$\therefore$当$x = 28$时，$W_{最大}= 6480$。
答：当$x$为$28$元时，每天的销售利润最大，最大利润是$6480$元。