《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

18. 如图,AB为⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,CE⊥AD于E,连结BE,$\widehat{CD}=\widehat{CB}$.求证：CE为⊙O的切线.

答案：
证明：如图，连结OC，BD，相交于点F.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴OC⊥BD，FD = FB.
∵AB为直径，
∴∠ADB = 90°，
即AE⊥BD，
∴AE//OC.
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE，
又
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线.

19. 如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.

答案：
解：
(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切. 理由：如图，连结OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠DAB + ∠DBA = 90°.
∵∠CDA = ∠CBD，
∴∠DAB + ∠CDA = 90°，
∵OD = OA，
∴∠DAB = ∠ADO，
∴∠CDA + ∠ADO = 90° = ∠CDO，
即OD⊥CE. 又
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

(2)
∵AC = 2，⊙O的半径是3，
∴OC = 2 + 3 = 5，OD = 3，BC = 8.
又由
(1)可知，∠CDO = 90°，
∴在Rt△CDO中，由勾股定理得CD = $\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
∵BE是⊙O的切线，
∴BC⊥BE，
∴∠CDO = ∠CBE = 90°. 又
∵∠C = ∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}$，
即$\frac{4}{8}=\frac{3}{BE}$，
∴BE = 6.

20. 如图,已知⊙O的半径为1,AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC,E是BC的中点,AB交⊙O于点D.
(1)直接写出ED和EC的数量关系:________；
(2)DE是⊙O的切线吗? 若是,给出证明;若不是,说明理由；
(3)填空:当BC=________时,四边形AOED是平行四边形,同时以点O,D,E,C为顶点的四边形是________.

答案：
解：
(1)ED = EC 提示：如图，连结CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC = 90°，
∴∠CDB = 180° - 90° = 90°. 在Rt△CDB中，E是BC的中点，
∴DE = CE = BE；
(2)DE是⊙O的切线. 证明如下：
如图，连结OD.
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB = 90°，即∠2 + ∠4 = 90°.
∵OC = OD，ED = EC，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°，即∠ODE = 90°，
∴OD⊥DE. 又
∵点D是半径OD的外端点，
∴DE是⊙O的切线；

(3)2 正方形 提示：当BC = 2时，
∵CA = CB = 2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B = 45°，
∴△BCD为等腰直角三角形. 又
∵E是BC中点，
∴DE⊥BC，DE = $\frac{1}{2}BC = 1$. 又BC为切线，
∴AC⊥BC，
∴AC//DE.
∵OA = DE = 1，AO//DE，
∴四边形AOED是平行四边形.
∵OD = OC = CE = DE = 1，∠OCE = 90°，
∴四边形OCED为正方形.

21. (长沙中考)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为 ( )

A. 32°
B. 52°
C. 64°
D. 72°

答案： B

22. (河池中考)如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 ( )

A. 25°
B. 35°
C. 40°
D. 50°

答案： C

23. (无锡中考)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的圆O与边AB,CD分别交于点E、点F,给出下列说法：(1)AC与BD的交点是圆O的圆心；(2)AF与DE的交点是圆O的圆心；(3)BC与圆O相切.其中正确说法的个数是 ( )

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案：
C 提示：如图，连结DG，AG，作GH⊥AD于点H，连结OD，EF.
∵G是BC的中点，
∴AG = DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上.
∵AD//BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切.
∵OG = OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点.
∵∠ADF = ∠DAE = 90°，
∴∠AEF = 90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心.
∴
(1)错误，
(2)
(3)正确.