《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

23. 已知直线l:y=x-3和点A(1,-2)，B(-5,-8).设P为l上一点，试判断P，A，B三点能否在同一个圆上.

答案： 解：当x = 1时，y = x - 3 = - 2，则点A(1，- 2)在直线y = x - 3上；当x = - 5时，y = x - 3 = - 8，则点B(- 5，- 8)在直线y = x - 3上，而点P在直线y = x - 3上，所以P，A，B三点共线，不能在同一个圆上.

24. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC²+PB²的值.

答案： 解：
(1)证明：
∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴∠C = ∠ABC = 45°，
∴∠AEP = ∠ABP = 45°.
∵PE是直径，
∴∠PAE = 90°，
∴∠APE = ∠AEP = 45°，
∴AP = AE，
∴△PAE是等腰直角三角形；
(2)
∵AC = AB，AP = AE，∠CAB = ∠PAE = 90°，
∴∠CAP = ∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP = ∠ABE = 45°，PC = EB，
∴∠PBE = ∠ABC + ∠ABE = 90°，
∴PC^{2}+PB^{2}=BE^{2}+PB^{2}=PE^{2}=2^{2}=4.

25. 在等腰三角形ABC中，B，C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：
(1)顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？
(2)顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？
(3)顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？

答案：
解：如图所示.

(1)如△ABC，
∵点A在⊙D上，∠A为直径BC所对的圆周角，
∴∠BAC = 90°，即顶角A为90°时，点A在⊙D上；
(2)如△A₁BC，
∵点A₁在⊙D内，
∴∠3 ＞ ∠1，∠4 ＞ ∠2，
∴∠3 + ∠4 ＞ ∠1 + ∠2，即∠BA₁C ＞ ∠BAC，
∴当顶角A的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部；
(3)与
(2)同理，如△A₂BC，当顶角A的度数大于0°且小于90°时，点A在⊙D的外部.

26. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，点D在边BC上，AE//BC，AE=BD.
(1)求证：AD=CE；
(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG=AD.求证：四边形AGCE是平行四边形.

答案：
证明：
(1)在⊙O中，
∵$\widehat{AB}$ = $\widehat{AC}$，
∴AB = AC，
∴∠B = ∠ACB.
∵AE//BC，
∴∠EAC = ∠ACB，
∴∠B = ∠EAC.
在△ABD和△CAE中，$\begin{cases}AB = CA\\\angle B = \angle EAC\\BD = AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD = CE；
(2)如图，连结AO并延长交边BC于点H，
∵$\widehat{AB}$ = $\widehat{AC}$，
∴AB = AC.
∵O为△ABC的外心，
∴AH⊥BC，
∴BH = CH.
∵AD = AG，
∴DH = GH，
∴BH - DH = CH - GH，即BD = CG.
∵BD = AE，
∴CG = AE.
又
∵CG//AE，
∴四边形AGCE是平行四边形.

27. (吉林中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 ( )

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C

28. (宁夏中考)如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ______.

答案：
5 提示：如图，分别作AB，BC的垂直平分线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆.由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H这5个格点.

29. 如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？

答案： 解：
∵AB = 10 km，AC = 3 km，
∴BC = 10 - 3 = 7(km)，
∴7÷10 = 0.7(h)，
∴在0 h到0.7 h之间，渔船是安全的；0.7 h渔船进入危险区域.