《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为$y = - \frac{1}{25}x^{2}$，当水面离桥拱顶的高度DO是2 m时，这时水面宽度AB为（ ）

A. -10 m
B. -5$\sqrt{2}$ m
C. 5$\sqrt{2}$ m
D. 10$\sqrt{2}$ m

答案： D
提示：根据题意，当$y = - 2$时，有$-2=-\frac{1}{25}x^{2}$，解得$x = \pm5\sqrt{2}$，
$\therefore A(-5\sqrt{2},-2)$，$B(5\sqrt{2},-2)$，
$\therefore$这时水面宽度$AB$为$2\times5\sqrt{2}=10\sqrt{2}(m)$。

2. 隧道的截面抛物线，且抛物线的表达式为$y = - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{13}{4}$，一辆车高3 m，宽4 m，该车________(选填“能”或“不能”)通过隧道.

答案： 不能
提示：在$y = -\frac{1}{8}x^{2}+\frac{13}{4}$中，当$y = 3$时，$-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{13}{4}=3$，
解得$x = \pm\sqrt{2}$，$\therefore$可通过的最大宽度是$2\sqrt{2}m$，$2\sqrt{2}＜4$，即该车不能通过隧道。

3. 如图所示的桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的平面直角坐标系，右面的一条抛物线可以用$y = 0.0225x^{2} - 0.9x + 10$表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，求左面钢缆的表达式.

答案： 解：把$y = 0.0225x^{2}-0.9x + 10(x＞0)$中的一次项系数$-0.9$变成相反数得到$y = 0.0225x^{2}+0.9x + 10(x\leq0)$。

4. (教材P28,练习变式)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线的最高点到路面的距离为6 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高为4 m，宽为2 m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

答案：
解：
(1)如图1，由题意得，最高点$C(4,6)$，$B(8,2)$，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 4)^{2}+6$，把$(8,2)$代入得
$a(8 - 4)^{2}+6=2$，
$a=-\frac{1}{4}$，$\therefore y = -\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+6$；
(2)如图2，当$DE = 2m$时，$AD = AE - DE=4 - 2=2(m)$，当$x = 2$时，$y = -\frac{1}{4}\times(2 - 4)^{2}+6=5＞4$，
$\therefore$这辆货车能安全通过。

5. 从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB = 4，CD = 3，以顶点C为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）

A. $y = \frac{3}{4}x^{2}$
B. $y = \frac{3}{16}x^{2}$
C. $y = - \frac{3}{4}x^{2}$
D. $y = - \frac{3}{16}x^{2}$

答案： A