《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

16. 某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间.
（1）求y与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？

答案： 解:
(1)由题意可得$y = 50-\frac{x}{10}=-\frac{x}{10}+50$，即$y$与$x$的函数关系式是$y=-\frac{1}{10}x + 50$；
(2)设宾馆每天的利润为$w$元，
则$w=(-\frac{1}{10}x + 50)(220 + x - 40)=-\frac{1}{10}x^2 + 32x + 9000$。
当$x=-\frac{32}{2\times(-\frac{1}{10})}=160$时，$w$有最大值，
故当宾馆每间客房的定价为$220 + 160 = 380$（元）时，宾馆利润最大。

17. 一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品.已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元. 经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）y与x之间的函数关系式；
（2）每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润 = 销售收入 - 产品成本 - 员工工资）

答案： 解:
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$，
把$(21,290)$，$(29,210)$代入，得$\begin{cases}21k + b = 290\\29k + b = 210\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -10\\b = 500\end{cases}$，
则$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-10x + 500(20\leqslant x\leqslant30)$；
(2)设每天门店的纯利润为$W$元，则$W=(-10x + 500)(x - 20)-400=-10x^2 + 700x - 10400=-10(x - 35)^2 + 1850$。
$\because20\leqslant x\leqslant30$，$\therefore$当$x = 30$时，每天门店的纯利润$W$最大，最大为$1600$元。

18.（威海中考）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

答案： 解:设矩形鸡场与墙垂直的一边长为$x m$，则与墙平行的一边长为$(47 - 2x + 1)m$。
由题意，得$y = x(47 - 2x + 1)$，即$y=-2(x - 12)^2 + 288$。
$\because-2＜0$，$\therefore$当$x = 12$时，$y$有最大值$288$，
当$x = 12$时，$47 - x-(x - 1)=24＜25$（符合题意），
$\therefore$鸡场的最大面积为$288 m^2$。

19.（滨州中考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数.
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润.

答案： 解:
(1)设$y = kx + b$，把$x = 20$，$y = 360$和$x = 30$，$y = 60$分别代入，
可得$\begin{cases}20k + b = 360\\30k + b = 60\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -30\\b = 960\end{cases}$，
$\therefore y=-30x + 960(10\leqslant x\leqslant32)$；
(2)设每月所获的利润为$W$元，则$W=(-30x + 960)(x - 10)=-30(x - 32)(x - 10)=-30(x^2 - 42x + 320)=-30(x - 21)^2 + 3630$，
$\therefore$当$x = 21$时，$W$有最大值，最大值为$3630$，
即当销售价格定为每件$21$元时，每月获得的利润最大，为$3630$元。