《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 若函数$y=(3 - m)x^{m^{2}-7}-x + 1$是二次函数,则$m$的值为 ( )
A. 3
B. -3
C. $\pm3$
D. 9

答案： B

2. 抛物线$y = 2(x - 3)^{2}+1$的顶点坐标是 ( )
A. $(3,1)$
B. $(3,-1)$
C. $(-3,1)$
D. $(-3,-1)$

答案： A

3. 抛物线$y = ax^{2}+bx - 3$经过点$(1,1)$,则代数式$a + b$的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案： C

4. 关于二次函数$y=-2(x - 3)^{2}+5$的最大值,下列说法正确的是 ( )
A. 最大值是3
B. 最大值是-3
C. 最大值是5
D. 最大值是-5

答案： C

5. 若点$P_{1}(-1,y_{1})$,$P_{2}(3,y_{2})$,$P_{3}(5,y_{3})$均在二次函数$y=-x^{2}+2x + c$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是 ( )
A. $y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
B. $y_{3}＞y_{1}=y_{2}$
C. $y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
D. $y_{1}=y_{2}＞y_{3}$

答案： D 提示：$\because y=-x^{2}+2x + c$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小. 又$1＜3＜5$，$3＜5$，$\therefore y_{2}＞y_{3}$，根据二次函数图象的对称性可知，$P_{1}(-1,y_{1})$与$P_{2}(3,y_{2})$关于对称轴对称，故$y_{1}=y_{2}＞y_{3}$.

6. 已知抛物线$y=\frac{2}{3}(x + 1)^{2}-3$,给出下列结论：①抛物线的开口向上;②对称轴为直线$x = 1$;③顶点坐标为$(-1,-3)$;④$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大.其中正确结论的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 提示：①$\because a=\frac{2}{3}＞0$，$\therefore$抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线$x=-1$，故错误；③顶点坐标为$(-1,-3)$，正确；④当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，正确. 综上所述，结论正确的是①③④，共$3$个.

7. 在平面直角坐标系中,如果抛物线$y = 2x^{2}$不动,而把$x$轴、$y$轴分别向下、向左平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )
A. $y = 2(x - 2)^{2}+2$
B. $y = 2(x + 2)^{2}-2$
C. $y = 2(x - 2)^{2}-2$
D. $y = 2(x + 2)^{2}+2$

答案： A

8. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示,则正比例函数$y = ax$与一次函数$y = bx - c$在同一坐标系内的图象大致是 ( )

答案： A 提示：由二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象可得，$a＞0$，$b＜0$，$c＞0$，$\therefore$正比例函数$y = ax$的图象经过第一、三象限，一次函数$y = bx - c$的图象经过第二、三、四象限.

9. 若把函数$y = x^{2}-2x - 3$化为$y=(x - m)^{2}+k$的形式,其中$m$,$k$为常数,则$m + k=$______.

答案： $-3$

10. 把抛物线$y=-2x^{2}+4x + 1$的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得新抛物线的函数关系式是 ____________.

答案： $y=-2(x + 1)^{2}+6$ 提示：$\because y=-2x^{2}+4x + 1=-2(x - 1)^{2}+3$，将其图象向左平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度得到新抛物线的解析式为$y=-2(x - 1+2)^{2}+3+3=-2(x + 1)^{2}+6$.

11. 已知抛物线$y = 3x^{2}+1$和$y = 3(x - 1)^{2}$,给出以下说法：①它们的图象都开口向上;②它们的对称轴都是$y$轴,顶点坐标都是原点$(0,0)$;③当$x＞0$时,它们的函数值$y$都是随着$x$的增大而增大;④它们的开口大小是一样的.其中正确的说法有 __________.

答案： ①④ 提示：①$\because a = 3＞0$，$\therefore$它们的图象都开口向上，此项正确；②抛物线$y = 3x^{2}+1$的对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,1)$，抛物线$y = 3(x - 1)^{2}$的对称轴是直线$x = 1$，顶点坐标是$(1,0)$，此项错误；③二次函数$y = 3x^{2}+1$，当$x＞0$时，$y$随着$x$的增大而增大；二次函数$y = 3(x - 1)^{2}$，当$x＞1$时，$y$随着$x$的增大而增大，此项错误；④$\because a = 3$，$\therefore$它们的开口大小一样，此项正确. 综上所知，正确的有①④.

12. 如图是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图象的一部分,其对称轴为直线$x=-1$,且过点$(-3,0)$.给出下列说法:①$abc＜0$;②$2a - b = 0$;③$4a + 2b + c＜0$;④若$(-5,y_{1})$,$(\frac{5}{2},y_{2})$是抛物线上两点,则$y_{1}＞y_{2}$.其中说法正确的是 ________.

答案： ①②④ 提示：①$\because$二次函数的图象开口向上，$\therefore a＞0$.$\because$二次函数的图象交$y$轴的负半轴于一点，$\therefore c＜0$.$\because$对称轴是直线$x=-1$，$\therefore-\frac{b}{2a}=-1$，$\therefore b = 2a＞0$，$\therefore abc＜0$，故①正确. ②$\because b = 2a$，$\therefore 2a - b = 0$，故②正确. ③$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$且过点$(-3,0)$，$\therefore$抛物线与$x$轴的另一交点为$(1,0)$.$\because$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 2$时$y＞0$，即$4a+2b + c＞0$，故③错误. ④$\because(-5,y_{1})$关于直线$x=-1$的对称点的坐标是$(3,y_{1})$，又当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，$3＞\frac{5}{2}＞-1$，$\therefore y_{1}＞y_{2}$，故④正确.