《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

22. 如图，在⊙O中，弦AB=CD.
求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，∠AOC=∠BOD.

答案： 证明：
∵弦AB = CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠AOC = ∠BOD.

23. 如图，M为⊙O上一点，$\widehat{MA}$=$\widehat{MB}$，MD⊥OA于点D，ME⊥OB于点E.
求证：MD=ME.

答案： 证明：在题图上连结MO，
∵$\overset{\frown}{MA}=\overset{\frown}{MB}$，
∴∠MOD = ∠MOE.又
∵MD⊥OA于点D，ME⊥OB于点E，
∴∠MDO = ∠MEO = 90°.
又
∵MO = MO，
∴△MDO≌△MEO，
∴MD = ME.

24. 如图，AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.
求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$.

答案：
证明：如图，连结OC，OD，
∵AO = BO，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM = ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC = ∠OND = 90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
$\begin{cases}OM = ON \\OC = OD\end{cases}$，
∴Rt△OMC≌Rt△OND，
∴∠COM = ∠DON，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

25. 如图，在⊙O中，弦AB//CD.
求证：$\widehat{AC}$与$\widehat{BD}$是等弧.

答案：
证明：如图，连结OA，OC，OD，OB.
∵OC = OD，
∴∠C = ∠D.
∵AB//CD，
∴∠1 = ∠C，∠2 = ∠D，
∴∠1 = ∠2.
∵∠1 = ∠A + ∠AOC，
∠2 = ∠B + ∠BOD，而OA = OB，
∴∠A = ∠B，
∴∠AOC = ∠BOD，
∴$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BD}$是等弧.

26. 如图，在⊙O中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠COA.

答案： 证明：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴AB = AC，
∴△ABC为等腰三角形.
∵∠ACB = 60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB = BC = CA，
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COA.

27. (无锡中考)如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O₁，O₂为圆心，$\frac{1}{2}$为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 （ ）

A. π
B. $\frac{1}{2}$π
C. $\frac{1}{4}$π
D. 2π

答案： B

28. (黄石中考)如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β-α的度数是____.

答案： 90° 提示：根据题意，得$\begin{cases}\frac{\alpha}{\beta}=0.6 \\\alpha+\beta = 360^{\circ}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}\alpha = 135^{\circ}\\\beta = 225^{\circ}\end{cases}$，
∵β - α = 225° - 135° = 90°.

29. (大连中考)如图，正方形ABCD的边长为2，E，F，G，H分别为各边中点，EG，FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____.

答案： $\frac{\pi}{2}$