《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

12. 如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形(如图中阴影部分)，然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为______cm.

答案：
5 提示：如图，连结OB，在Rt△OBD中，BD = $\frac{1}{2}$AB = 2 cm，根据勾股定理得OD²+BD² = OB²，即(OB - 1)²+2² = OB²，解得OB = 2.5，所以轮子的直径为5 cm.

13. (9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A = 45°，BD是直径，且BD=2，连结CD，求BC的长.

答案： 解：在⊙O中，
∵∠A = 45°，
∴∠D = ∠A = 45°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD = 90°，
∴∠DBC = 90° - ∠D = 90° - 45° = 45°，
∴∠DBC = ∠D，
∴BC = CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC²+CD² = BD²，
∴2BC² = 4，
∴BC = $\sqrt{2}$.

14. (9分)如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，BC是⊙O的直径，∠ACB=20°，D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，求∠DAC的度数.

答案： 解：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°，
∴∠B = 90° - ∠ACB = 90° - 20° = 70°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B + ∠D = 180°，
∴∠D = 180° - ∠B = 180° - 70° = 110°.
∵D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD = CD，
∴∠DAC = ∠DCA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠D)= $\frac{1}{2}$×(180° - 110°)=35°.

15. (11分)如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°.
(1)请判断△ABC的形状，并说明理由;
(2)若⊙O的半径为7，AP=6，求圆心O到AP的距离.

答案：
解：
(1)△ABC是等边三角形.理由：在△ABC中，
∵∠B = ∠APC = 60°，∠BAC = 60°，
∴△ABC是等边三角形；
(2)如图，过点O作OD⊥AP，垂足为D，连结OA，则AD = $\frac{1}{2}$AP，∠ADO = 90°.
∵AP = 6，
∴AD = 3，
∴在Rt△ADO中，OD = $\sqrt{AO^{2}-AD^{2}}=\sqrt{7^{2}-3^{2}} = 2\sqrt{10}$，
∴圆心O到AP的距离为2$\sqrt{10}$.

16. (11分)如图为桥洞的形状，是由$\overset{\frown}{CD}$和矩形ABCD构成的.点O为$\overset{\frown}{CD}$所在⊙O的圆心，点O又恰好在水面AB处.若桥洞跨度CD为8m，拱高(OE⊥弦CD于点F)EF为2m.
(1)求$\overset{\frown}{CD}$所在⊙O的半径DO的长;
(2)若河里行驶来一艘船(假设其横截面为矩形)，其宽为6m，露出水面AB的高度为hm，求船能通过桥洞时的最大高度.

答案：
解：
(1)
∵OE⊥CD于点F，CD = 8 m，EF = 2 m，
∴DF = $\frac{1}{2}$CD = 4 m，FO=(DO - 2)m.在Rt△DFO中，DO² = FO²+DF²，即DO²=(DO - 2)²+4²，解得DO = 5，
∴$\overset{\frown}{CD}$所在⊙O的半径DO为5 m；
(2)如图，假设船为矩形MQRN，船以点O为中心通过桥洞，连结MO.
∵MN = 6 m，
∴MY = YN = 3 m.在Rt△MOY中，MO² = YO²+MY²，即5² = YO²+3²，解得YO = 4，
∴船能通过桥洞时的最大高度为4 m.

17. (12分)如图，在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(0，-6)，B(8，0)三点在⊙P上.
(1)求圆的半径及圆心P的坐标;
(2)M为$\overline{OB}$的中点，求证：AM是∠OAB的平分线;
(3)在(2)的基础上，连结BM并延长交y轴于点N，求M，N点的坐标.

答案：
解：
(1)
∵O(0，0)，A(0， - 6)，B(8，0)，
∴OA = 6，OB = 8.
∵∠AOB = 90°，
∴AB为⊙P的直径，AB = $\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，
∴⊙P的半径长为$\frac{1}{2}$×10 = 5.
∵点P为AB的中点，
∴P(4， - 3)；
(2)证明：
∵M是$\overset{\frown}{OB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{OM}=\overset{\frown}{BM}$，
∴∠OAM = ∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
(3)如图，连结PM交OB于点Q，
∵$\overset{\frown}{OM}=\overset{\frown}{BM}$，
∴PM⊥OB，BQ = OQ = $\frac{1}{2}$OB = 4.在Rt△PBQ中，PQ = $\sqrt{PB^{2}-BQ^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴MQ = 5 - 3 = 2，
∴点M的坐标为(4，2).
∵AM为∠OAB的平分线，AM⊥BN，
∴BM = NM.而OQ = BQ，
∴MQ为△BON的中位线，
∴ON = 2MQ = 4，
∴点N的坐标为(0，4).