《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

10. 如图，双曲线$y = \frac{k}{x}$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c$交于点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$C(x_{3},y_{3})$，由图象可得不等式组$0＜\frac{k}{x}＜ax^{2}+bx + c$的解集为_____.

答案： $x_{2}＜x＜x_{3}$ 提示：由题图可知，当$x_{2}＜x＜x_{3}$时，$0＜\frac{k}{x}＜ax^{2}+bx + c$，所以不等式组$0＜\frac{k}{x}＜ax^{2}+bx + c$的解集是$x_{2}＜x＜x_{3}$。

11. 若函数$y = ax^{2}-(a + 3)x - 1$的图象与$x$轴只有一个公共点，则实数$a$的值为____________.

答案： $-1$或$-9$或$0$ 提示：当$a\neq0$时，
∵关于$x$的函数$y = ax^{2}-(a + 3)x - 1$的图象与$x$轴只有一个公共点，
∴$\Delta=[-(a + 3)]^{2}-4a\times(-1)=a^{2}+10a + 9=0$，解得$a = - 1$或$-9$；当$a = 0$时，$y = - 3x - 1$，与$x$轴只有一个公共点。综上，$a$的值为$-1$或$-9$或$0$。

12. 抛物线$y = x^{2}-2x - 3$与坐标轴的交点个数为（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： D 提示：当$x = 0$时，$y = - 3$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$；当$y = 0$时，$x^{2}-2x - 3=0$，$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-3)=16＞0$，所以抛物线与$x$轴有两个交点，则抛物线与坐标轴共有$3$个交点。

13. 小兰画了函数$y = x^{2}+ax + b$的图象如图所示，则关于$x$的方程$x^{2}+ax + b = 0$的解是（ ）

A. 无解
B. $x = 1$
C. $x = -4$
D. $x_{1}=-1,x_{2}=4$

答案： D 提示：
∵函数$y = x^{2}+ax + b$的图象与$x$轴的交点坐标分别是$(-1,0)$，$(4,0)$，
∴关于$x$的方程$x^{2}+ax + b = 0$的解是$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$。

14. 在同一坐标系下，抛物线$y_{1}=-x^{2}+4x$和直线$y_{2}=2x$的图象如图所示，那么不等式$-x^{2}+4x＞2x$的解集是（ ）


A. $x＜0$
B. $0＜x＜2$
C. $x＞2$
D. $x＜0$或$x＞2$

答案： B 提示：由题图可知，抛物线$y_{1}=-x^{2}+4x$和直线$y_{2}=2x$的交点坐标为$(0,0)$，$(2,4)$，在$0＜x＜2$时，抛物线在直线的上方，所以不等式$-x^{2}+4x＞2x$的解集是$0＜x＜2$。

15. 若函数$y = mx^{2}+(m + 2)x+\frac{1}{2}m + 1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$m$的值为（ ）
A. 0
B. 0或2
C. 2或-2
D. 0,2或-2

答案： D 提示：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数$y = mx^{2}+(m + 2)x+\frac{1}{2}m + 1$的图象与$x$轴只有一个交点，
∴$b^{2}-4ac=(m + 2)^{2}-4m(\frac{1}{2}m + 1)=0$且$m\neq0$，解得$m=\pm2$，②当函数是一次函数时，$m = 0$，此时函数表达式是$y = 2x + 1$，和$x$轴只有一个交点。

16. 如图，已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象，由图象可知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根分别是$x_{1}=1.6,x_{2}=$（ ）


A. -1.6
B. 3.2
C. 4.4
D. 以上都不对

答案： C 提示：由函数图象可知其对称轴为直线$x = 3$，又
∵抛物线是轴对称图形，
∴抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x = 3$对称，而关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根分别是$x_{1}$，$x_{2}$，那么两根满足$2\times3=x_{1}+x_{2}$，而$x_{1}=1.6$，则$x_{2}=4.4$。

17. 如图，已知顶点为$(-3,-6)$的抛物线$y = ax^{2}+bx + c$经过点$(-1,-4)$.则下列结论错误的是（ ）


A. $b^{2}＞4ac$
B. $ax^{2}+bx + c\geqslant - 6$
C. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = - 4$的两根为-5和-1
D. 若点$(0,m),(-7,n)$在抛物线上，则$m＞n$

答案： D 提示：A.图象与$x$轴有两个交点，则方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个不相等的实数根，$b^{2}-4ac＞0$，所以$b^{2}＞4ac$，故A结论正确，不符合题意；B.抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为$-6$，所以$ax^{2}+bx + c\geq - 6$，故B结论正确，不符合题意；C.根据抛物线的对称性可知，$(-1,-4)$关于对称轴的对称点为$(-5,-4)$，所以关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = - 4$的两根为$-5$和$-1$，故C结论正确，不符合题意；D.抛物线的对称轴为直线$x=-3$，因为$-7$离对称轴的距离大于$0$离对称轴的距离，所以$m＜n$，故D结论错误，符合题意。

18. 已知函数$y=(k - 3)x^{2}+2x + 1$的图象与$x$轴有两个交点，则$k$的取值范围是____________.

答案： $k＜4$且$k\neq3$ 提示：
∵函数$y=(k - 3)x^{2}+2x + 1$的图象与$x$轴有两个交点，则方程$(k - 3)x^{2}+2x + 1=0$有两个不相等的实数根，则$b^{2}-4ac=4-4(k - 3)＞0$，且$k - 3\neq0$，解得$k＜4$且$k\neq3$。

19. 利用函数图象求方程$-x^{2}+2x + 2 = 0$的实数根（精确到0.1），要先作函数__________的图象，如图所示，它与$x$轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7，所以方程$-x^{2}+2x + 2 = 0$的实数根为$x_{1}\approx$_______,$x_{2}\approx$_______.

答案： $y=-x^{2}+2x + 2$ $-0.7$ $2.7$ 提示：由函数图象求方程$-x^{2}+2x + 2=0$的实数根(精确到$0.1$)，要先作函数$y=-x^{2}+2x + 2$的图象，它与$x$轴的交点的横坐标大约是$-0.7$，$2.7$，所以方程$-x^{2}+2x + 2=0$的实数根为$x_{1}\approx - 0.7$，$x_{2}\approx2.7$。