《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

12. 下列二次函数中，二次项系数是 - 3的是（ ）
A. $y = 3x^{2}-2x + 5$
B. $y = x^{2}-3x + 2$
C. $y = - 3x^{2}-x$
D. $y = x^{2}-3$

答案： C

13. 如果函数$y=(m - 3)x^{m^{2}-3m + 2}$是二次函数，那么$m$的值一定是（ ）
A. 0
B. 3
C. 0或3
D. 1或2

答案： A

14. 在半径为4的圆中，挖去一个边长为$x$的正方形，剩下部分的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数关系式为（ ）
A. $y=\pi x^{2}-4y$
B. $y = 16\pi - x^{2}$
C. $y = 16 - x^{2}$
D. $y = x^{2}-4y$

答案： B 提示：圆面积是$16\pi$，正方形面积是$x^{2}$，则$y$与$x$的函数关系式是$y=16\pi-x^{2}$.

15. 一种原价160元的电器连续两次降价后的价格为$y$元，若平均每次降价的百分率是$x$，则$y$与$x$的函数关系式为（ ）
A. $y = 320(x - 1)$
B. $y = 320(1 - x)$
C. $y = 160(1 - x^{2})$
D. $y = 160(1 - x)^{2}$

答案： D 提示：第一次降价后的价格是$160(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$160(1 - x)\times(1 - x)=160(1 - x)^{2}$元，则$y$与$x$的函数关系式为$y=160(1 - x)^{2}$.

16. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 1$，若当$x = 1$时，$y = 0$；当$x = - 1$时，$y = 4$，则$a$，$b$的值分别为（ ）
A. $a = 1$，$b = 2$
B. $a = 1$，$b = - 2$
C. $a = - 1$，$b = 2$
D. $a = - 1$，$b = - 2$

答案： B 提示：把两组对应值分别代入$y=ax^{2}+bx + 1$得到$\begin{cases}a + b+1 = 0\\a - b+1 = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-2\end{cases}$.

17. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为$x$元，则可卖出$(350 - 10x)$件商品，那么商品所赚钱数$y$元与售价$x$元的函数关系式为（ ）
A. $y = - 10x^{2}-560x + 7350$
B. $y = - 10x^{2}+560x - 7350$
C. $y = 10x^{2}+350x$
D. $y = 10x^{2}+350x - 7350$

答案： B 提示：每件商品的利润为$(x - 21)$元，由总利润 = 件数×每件利润，可得函数关系式为$y=(x - 21)(350 - 10x)=-10x^{2}+560x - 7350$.

18. 如果函数$y=(a - 2)x^{2}$是二次函数，那么$a$的取值范围是______.

答案： $a\neq2$

19. 下列函数中（$x$，$t$是自变量），是二次函数的是__________.(填序号)
①$y = - 5x^{2}+3$；②$y=\frac{1}{2}x^{2}-x^{3}+25$；③$y = 2^{2}+2x$；④$s = 1+t + 5t^{2}$.

答案： ①④

20. 已知二次函数$y = - x^{2}+x + 1$，当$x = - 1$时，$y =$____；当$y = 1$时，$x =$________.

答案： -1 0 或 1 提示：当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}+(-1)+1=-1$；当$y = 1$时，$1=-x^{2}+x + 1$，解得$x = 0$或$x = 1$.

21. 一个边长为3 cm的正方形，若它的边长增加$x$ cm，面积随之增加$y$ cm²，则$y$关于$x$的函数关系式是____________.(不必写出$x$的取值范围)

答案： $y=x^{2}+6x$ 提示：边长为$3\ cm$的正方形面积为$3×3 = 9(cm^{2})$，边长增加$x\ cm$后变为$(x + 3)\ cm$，则面积为$(x + 3)^{2}\ cm^{2}$，所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=(x + 3)^{2}-9=x^{2}+6x$.

22. 如图，在一幅长50 cm、宽30 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂画，设整个挂画总面积为$y$ cm²，金色纸边的宽为$x$ cm，则$y$与$x$的关系是_________.

答案： $y=4x^{2}+160x + 1500$ 提示：由题意可得$y=(50 + 2x)(30 + 2x)=4x^{2}+160x + 1500$.

23. 找出下列函数中的二次函数.
(1)$y=\frac{1}{3}x^{2}-5x + 6$；(2)$y=\frac{3}{x^{2}}+1$；(3)$y=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1$；
(4)$y = - 2x-\frac{1}{3}x^{2}$；(5)$y=\frac{1}{3}x + 3^{2}$；(6)$y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}m + m^{2}$.

答案： 解：
(1)是二次函数；
(2)分母中含自变量，不是二次函数；
(3)分母中含自变量，不是二次函数；
(4)是二次函数；
(5)是一次函数，不是二次函数；
(6)是二次函数.
故
(1)
(4)
(6)是二次函数.

24. 已知$y=(m^{2}-m)x^{m^{2}-2m - 1}+(m - 3)x + m^{2}$是关于$x$的二次函数，求$m$的值和二次函数的关系式.

答案： 解：$\because y=(m^{2}-m)x^{m^{2}-2m - 1}+(m - 3)x + m^{2}$是关于$x$的二次函数，$\therefore m^{2}-m\neq0$，解得$m\neq0$且$m\neq1$.又由$m^{2}-2m - 1=2$，解得$m = 3$或$m=-1$.当$m = 3$时，表达式为$y=6x^{2}+9$；当$m=-1$时，表达式为$y=2x^{2}-4x + 1$，$\therefore m$的值为 3 或 -1，此二次函数的关系式为$y=6x^{2}+9$或$y=2x^{2}-4x + 1$.