《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

19. 如图，过⊙O外一点B作⊙O的切线BM，M为切点，BO交⊙O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO = 3，⊙O的半径为1.求MP的长.

答案：
解：如图，连结OM，则OM⊥BM. 在Rt△BOM中，OM = 1，BO = 3，根据勾股定理，得BM = 2$\sqrt{2}$.
∵AP⊥OB，
∴AP是⊙O的切线. 又
∵PM是⊙O的切线，
∴AP = MP. 在Rt△APB中，设AP = x，则BP = BM - MP = 2$\sqrt{2}$ - x，又AB = 3 - 1 = 2，根据勾股定理得，(2$\sqrt{2}$ - x)² = x² + 4，解得x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

20. 如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.
（1）求证：EB = EN = EC；
（2）求证：NE² = AE·DE.

答案：
证明：
(1)如图，连结BN.
∵点N为△ABC的内心，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴EB = EC.
∵∠5 = ∠2，
∴∠5 = ∠1，
∴∠4 + ∠5 = ∠3 + ∠1.
∵∠NBE = ∠4 + ∠5，∠BNE = ∠3 + ∠1，
∴∠NBE = ∠BNE，
∴EB = EN，
∴EB = EN = EC；

(2)由
(1)知∠5 = ∠1，∠BED = ∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴$\frac{BE}{DE}$ = $\frac{AE}{BE}$，即BE² = AE·DE.
∵BE = NE，
∴NE² = AE·DE.

21. 如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB = 60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.

答案： 解：
(1)
∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA = CE，同理DE = DB，PA = PB，
∴△PCD的周长 = PD + CD + PC = PD + PC + CA + BD = PA + PB = 2PA = 12，即PA的长为6；
(2)
∵∠P = 60°，
∴∠PCE + ∠PDE = 120°，
∴∠ACD + ∠CDB = 360° - 120° = 240°.
∵CA，CE是⊙O的切线，
∴∠OCE = ∠OCA = $\frac{1}{2}$∠ACD；同理，得∠ODE = $\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠OCE + ∠ODE = $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠CDB) = 120°，
∴∠COD = 180° - 120° = 60°.

22.（西宁中考）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA = 2，∠P = 60°，则AB =（ ）

A. √3
B. 2
C. 2√3
D. 3

答案： B

23.（云南中考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB = 5，BC = 13，CA = 12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是__________.

答案： 4 提示：
∵AB = 5，BC = 13，CA = 12，
∴AB² + CA² = BC²，
∴△ABC为直角三角形，∠A = 90°.
∵AB，AC与⊙O分别相切于点F，E，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，设OE = r，则AE = AF = r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BD = BF = 5 - r，CD = CE = 12 - r，
∴5 - r + 12 - r = 13，
∴r = 2，
∴S四边形AEOF = 2×2 = 4.

24.（浙江中考）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是⌢DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）

A. 65°
B. 60°
C. 58°
D. 50°

答案：
B 提示：如图，连结OE，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB = ∠OFB = 90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = 60°，
∴∠EOF = 120°，
∴∠EPF = $\frac{1}{2}$∠EOF = 60°.

25. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步.（步：古代长度单位）

答案： 6 提示：根据勾股定理得斜边 = $\sqrt{15^{2}+8^{2}}$ = 17，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r = $\frac{8 + 15 - 17}{2}$ = 3(步)，即直径为6步.